emne 2 done
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parent
9bfdccfa99
commit
18fd9efa24
554
beviser.lyx
554
beviser.lyx
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@ -81,7 +81,7 @@ Løsninger og mindste kvadraters løsninger til lineære ligningssystemer
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||||||
\end_layout
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
\begin_layout Subsection
|
\begin_layout Subsection
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Lemma 1.5
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Lemma 1.5 (Hovedsætning)
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\end_layout
|
\end_layout
|
||||||
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|
||||||
\begin_layout Standard
|
\begin_layout Standard
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||||||
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@ -149,7 +149,15 @@ l_{i}+\alpha\cdot l_{j}.
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||||||
\end_layout
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
\begin_layout Subsection
|
\begin_layout Subsection
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Proposition 1.14
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Proposition 1.14 –
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\begin_inset Quotes ald
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\end_inset
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||||||
|
Et vigtigt resultat
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|
\begin_inset Quotes ard
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\end_inset
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|
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||||||
|
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\end_layout
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
\begin_layout Standard
|
\begin_layout Standard
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|
@ -200,7 +208,11 @@ ledende ubekendte
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||||||
\end_layout
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
\begin_layout Subsection
|
\begin_layout Subsection
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||||||
Proposition 3.11
|
Proposition 3.11 (Hovedsætning for
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\emph on
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||||||
|
løsninger til lineære ligningssystemer
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|
\emph default
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||||||
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)
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\end_layout
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\end_layout
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\begin_layout Standard
|
\begin_layout Standard
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@ -322,7 +334,11 @@ Derfor må
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\end_layout
|
\end_layout
|
||||||
|
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||||||
\begin_layout Subsection
|
\begin_layout Subsection
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Proposition 10.33
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Proposition 10.33 (Hovedsætning for
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|
\emph on
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||||||
|
mindste kvadraters løsninger
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||||||
|
\emph default
|
||||||
|
)
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\end_layout
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
\begin_layout Standard
|
\begin_layout Standard
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|
@ -383,6 +399,49 @@ ordinær
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løsning.
|
løsning.
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\end_layout
|
\end_layout
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||||||
|
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||||||
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\begin_layout Paragraph
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|
Bevis
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|
\end_layout
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||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Standard
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|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
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||||||
|
\end_inset
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|
er pr.
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definition indeholdt i
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\begin_inset Formula $R(A)$
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||||||
|
\end_inset
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||||||
|
|
||||||
|
.
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||||||
|
Det gælder jf.
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||||||
|
Proposition 10.32 for alle andre
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||||||
|
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}\in R(A)$
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||||||
|
\end_inset
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||||||
|
|
||||||
|
at
|
||||||
|
\begin_inset Formula
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\left\Vert \boldsymbol{b}-A\cdot\boldsymbol{z}\right\Vert \geq\left\Vert \boldsymbol{b}-\boldsymbol{p}\right\Vert
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
med lighedstegn netop når
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||||||
|
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}=\boldsymbol{p}$
|
||||||
|
\end_inset
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||||||
|
|
||||||
|
.
|
||||||
|
Dette viser at mindste kvadraters løsninger til
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||||||
|
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
bestemmes som løsningerne til
|
||||||
|
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
.
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
\begin_layout Subsubsection
|
\begin_layout Subsubsection
|
||||||
Hjælpesætning - Proposition 10.32
|
Hjælpesætning - Proposition 10.32
|
||||||
\end_layout
|
\end_layout
|
||||||
|
|
@ -432,49 +491,6 @@ for alle
|
||||||
.
|
.
|
||||||
\end_layout
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
\begin_layout Paragraph
|
|
||||||
Bevis
|
|
||||||
\end_layout
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin_layout Standard
|
|
||||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
|
|
||||||
\end_inset
|
|
||||||
|
|
||||||
er pr.
|
|
||||||
definition indeholdt i
|
|
||||||
\begin_inset Formula $R(A)$
|
|
||||||
\end_inset
|
|
||||||
|
|
||||||
.
|
|
||||||
Det gælder jf.
|
|
||||||
Proposition 10.32 for alle andre
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||||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}\in R(A)$
|
|
||||||
\end_inset
|
|
||||||
|
|
||||||
at
|
|
||||||
\begin_inset Formula
|
|
||||||
\[
|
|
||||||
\left\Vert \boldsymbol{b}-A\cdot\boldsymbol{z}\right\Vert \geq\left\Vert \boldsymbol{b}-\boldsymbol{p}\right\Vert
|
|
||||||
\]
|
|
||||||
|
|
||||||
\end_inset
|
|
||||||
|
|
||||||
med lighedstegn netop når
|
|
||||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}=\boldsymbol{p}$
|
|
||||||
\end_inset
|
|
||||||
|
|
||||||
.
|
|
||||||
Dette viser at mindste kvadraters løsninger til
|
|
||||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
|
||||||
\end_inset
|
|
||||||
|
|
||||||
bestemmes som løsningerne til
|
|
||||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}$
|
|
||||||
\end_inset
|
|
||||||
|
|
||||||
.
|
|
||||||
\end_layout
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin_layout Subsection
|
\begin_layout Subsection
|
||||||
Noter
|
Noter
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\end_layout
|
\end_layout
|
||||||
|
|
@ -486,5 +502,449 @@ Proposition 10.36 er også nævnt i dispositionerne.
|
||||||
ud af det! Skal den med? IDK!
|
ud af det! Skal den med? IDK!
|
||||||
\end_layout
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Standard
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||||||
|
\begin_inset Newpage newpage
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Section
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|
Invertible matricer
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|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Subsection
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|
Lemma 4.3 (Målsætning uden bevis)
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\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Standard
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||||||
|
Antag at
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||||||
|
\begin_inset Formula $A\in{\rm Mat}_{n}(\mathbb{F})$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
er en invertibel matrix og
|
||||||
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\in\mathbb{F}^{n}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
.
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Standard
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||||||
|
Da vil ligningssystemet
|
||||||
|
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
have præcis én løsning.
|
||||||
|
Denne vil være lig
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||||||
|
\begin_inset Formula $A^{-1}\cdot\boldsymbol{b}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
.
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Subsection
|
||||||
|
Lemma 4.4 (Hovedsætning)
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Standard
|
||||||
|
Antag
|
||||||
|
\begin_inset Formula $A\in{\rm Mat}_{n}(\mathbb{F})$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
(OBS!
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||||||
|
\begin_inset Formula $A$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
er kvadratisk!) og lad
|
||||||
|
\begin_inset Formula $H$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
bestemme en matrix på
|
||||||
|
\begin_inset Formula $RREF$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
, der er rækkeækvivalent med
|
||||||
|
\begin_inset Formula $A$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
.
|
||||||
|
Følgende udsagn er da ækvivalente
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Enumerate
|
||||||
|
For enhver vektor
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||||||
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\in\mathbb{F}^{n}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
vil det lineære ligningssystem
|
||||||
|
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
udelukkende have præcis én løsning.
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Enumerate
|
||||||
|
Det homogene lineære liningssystem
|
||||||
|
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
har kun nulvektoren
|
||||||
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
som løsning.
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Enumerate
|
||||||
|
Det homogene (fuldstændigt) reducerede ligningssystem
|
||||||
|
\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
har
|
||||||
|
\emph on
|
||||||
|
ingen frie ubekendte.
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Enumerate
|
||||||
|
Matricen
|
||||||
|
\begin_inset Formula $H$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
er lig identitetsmatricen
|
||||||
|
\begin_inset Formula ${\rm I}_{n}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
.
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Paragraph
|
||||||
|
Bevis
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Standard
|
||||||
|
\begin_inset Formula $(1)\Rightarrow(2)$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
: Oplagt, da nulvektoren
|
||||||
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
er en løsning til ethvert homogent ligningssystem.
|
||||||
|
(1) giver da at dette må være den éneste løsning.
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Standard
|
||||||
|
\begin_inset Formula $(2)\Rightarrow(3)$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
: Da de to ligningssystemer
|
||||||
|
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
og
|
||||||
|
\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
er ækvivalente har de samme løsningsmængde.
|
||||||
|
Hvis
|
||||||
|
\begin_inset Formula $(2)$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
er opfyldt har
|
||||||
|
\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
præcis én løsning, hvilket giver at der ikke er frie variable i ligningssysteme
|
||||||
|
t.
|
||||||
|
Dette opfylder jf.
|
||||||
|
Proposition 1.9 (ingen frie variable ved antal pivoter svarende til antal
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||||||
|
ligninger (RREF i matrix-speak)) (3) ud fra (2).
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Standard
|
||||||
|
\begin_inset Formula $(3)\Rightarrow(4)$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
: Da
|
||||||
|
\begin_inset Formula $H$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
er på RREF, så må der eksistere en følge af naturlige tal
|
||||||
|
\begin_inset Formula
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
1\leq d_{1}<d_{2}<\cdots<d_{r}\leq n,
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
hvor
|
||||||
|
\begin_inset Formula $r$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
er antallet af pivoter, såleds at de krævede egenskaber for RREF er opfyldt.
|
||||||
|
Den
|
||||||
|
\begin_inset Formula $(i,j)$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
'te indgang i
|
||||||
|
\begin_inset Formula $H$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
betegns med
|
||||||
|
\begin_inset Formula $h_{i,j}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
.
|
||||||
|
Da har vi specielt, at
|
||||||
|
\begin_inset Formula
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
h_{i,d_{j}=}\begin{cases}
|
||||||
|
1 & {\rm hvis}\quad i=j,j\leq r\\
|
||||||
|
0 & {\rm hvis}\quad i\neq j,j\leq r
|
||||||
|
\end{cases}.
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
(
|
||||||
|
\emph on
|
||||||
|
Nævn eventuelt Kroeneckers delta i relation til dette)
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Standard
|
||||||
|
Det er givet at
|
||||||
|
\begin_inset Formula $x_{d_{1}},x_{d_{2}},\dots,x_{d_{r}}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
er de ledende ubekendte for det lineære ligningssystem
|
||||||
|
\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
.
|
||||||
|
Da der ikke er frie ubekendte for
|
||||||
|
\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
jf.
|
||||||
|
(3), så må
|
||||||
|
\begin_inset Formula $r=n$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
og
|
||||||
|
\begin_inset Formula $d_{i}=i$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
for
|
||||||
|
\begin_inset Formula $i=1,2,\dots,n$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
.
|
||||||
|
Dermed giver ovenstående at
|
||||||
|
\begin_inset Formula $H$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
er identitetsmatricen
|
||||||
|
\begin_inset Formula ${\rm I}_{n}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
.
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Standard
|
||||||
|
\begin_inset Formula $(4)\Rightarrow(1)$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
: Hvis (4) er opfyldt vil totalmatricen
|
||||||
|
\begin_inset Formula $(A\mid\boldsymbol{b})$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
(dvs.
|
||||||
|
for systemet
|
||||||
|
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
) være rækkeækvivalent med
|
||||||
|
\begin_inset Formula $({\rm I}_{n}\mid\boldsymbol{c})$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
for en passende vektor
|
||||||
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{c}\in\mathbb{F}^{n}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
.
|
||||||
|
Særligt vil løsningsmængderne for
|
||||||
|
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
og
|
||||||
|
\begin_inset Formula $I_{n}\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{c}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
være identiske.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_inset Formula ${\rm I}_{n}\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{c}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
har imidlertid kun løsningen
|
||||||
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{c}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
, hvilket opfylder (1) (præcis én løsning).
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Subsection
|
||||||
|
Lemma 4.5 (Leder op til 4.6, perspektiv uden bevis)
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Standard
|
||||||
|
For en kvadratisk matrix
|
||||||
|
\begin_inset Formula $A$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
, der opfylder et af de fire udsagn i Lemma 4.4, vil der eksistere en kvadratisk
|
||||||
|
matrix
|
||||||
|
\begin_inset Formula $B$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
af samme størrelse som
|
||||||
|
\begin_inset Formula $A$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
, således at
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||||||
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\begin_inset Formula $A\cdot B={\rm I}_{n}$
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\end_inset
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.
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\end_layout
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\begin_layout Subsection
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Lemma 4.6 (Vigtig konklusion)
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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En kvadratisk matrix
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\begin_inset Formula $A$
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\end_inset
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er invertibel hvis og kun hvis
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\begin_inset Formula $A$
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\end_inset
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opfylder de ækvivalente udsagn i Lemma 4.4.
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\end_layout
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\begin_layout Paragraph
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Bevis
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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Først vises at en invertibel matrix opfylder udsagnene i Lemma 4.4: Lemma
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4.3 giver at en invertibel matrix vil opfylde udsagn (1) i Lemma 4.4.
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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Det ønskes nu at vise at en matrix, der opfylder udsagnene i Lemma 4.4 er
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invertibel: Det antages, at
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\begin_inset Formula $A$
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\end_inset
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opfylder udsagnene i Lemma 4.4.
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Ifølge Lemma 4.5 eksisterer der dermed en kvadratisk matrix af samme størrelse
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\begin_inset Formula $B$
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\end_inset
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, så
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\begin_inset Formula $A\cdot B={\rm I}_{n}$
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\end_inset
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.
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Det påstås at
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\begin_inset Formula $B$
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\end_inset
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opfylder udsagn
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\begin_inset Formula $(2)$
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\end_inset
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i Lemma
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\begin_inset Formula $4.4$
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\end_inset
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.
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Lad en vektor
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\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
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\end_inset
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med
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\begin_inset Formula $n$
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\end_inset
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indgange være en løsning til det homogene ligningssystem
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\begin_inset Formula $B\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
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\end_inset
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.
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Da vil
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\begin_inset Formula
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\begin{align*}
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\boldsymbol{v} & ={\rm I}_{n}\cdot\boldsymbol{v}\\
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& =(A\cdot B)\cdot\boldsymbol{v}\\
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& =A\cdot(B\cdot\boldsymbol{v})\\
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& =A\cdot\boldsymbol{0}\\
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& =\boldsymbol{0}.
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\end{align*}
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\end_inset
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Nu kan vi anvende Lemma 4.5 på
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\begin_inset Formula $B$
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\end_inset
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og konkludere, at der eksisterer endnu en kvadratisk matrix af samme størrelse
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\begin_inset Formula $C$
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\end_inset
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, så
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\begin_inset Formula $B\cdot C={\rm I}_{n}$
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\end_inset
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.
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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Det ønskes nu at vise at
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\begin_inset Formula $C=A$
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\end_inset
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, hvilket giver at
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\begin_inset Formula $B$
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\end_inset
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er en invers til
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\begin_inset Formula $A$
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\end_inset
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Dette vises ved
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\begin_inset Formula
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\begin{align*}
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A & =A\cdot{\rm I}_{n}\\
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& =A\cdot(B\cdot C)\\
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& =(A\cdot B)\cdot C\\
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& ={\rm I}_{n}\cdot C\\
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& =C.
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\end{align*}
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\end_inset
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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Beviset er nu afsluttet.
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\end_layout
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\end_body
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\end_document
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