From 18fd9efa249e6fa7bb5eb4d4afe4929687c96809 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Christoffer=20M=C3=BCller=20Madsen?=
 <christoffer@guava.space>
Date: Fri, 9 Jun 2017 12:37:20 +0200
Subject: [PATCH] emne 2 done

---
 beviser.lyx | 554 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-----
 1 file changed, 507 insertions(+), 47 deletions(-)

diff --git a/beviser.lyx b/beviser.lyx
index f615b1d..ca49d6b 100644
--- a/beviser.lyx
+++ b/beviser.lyx
@@ -81,7 +81,7 @@ Løsninger og mindste kvadraters løsninger til lineære ligningssystemer
 \end_layout
 
 \begin_layout Subsection
-Lemma 1.5
+Lemma 1.5 (Hovedsætning)
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -149,7 +149,15 @@ l_{i}+\alpha\cdot l_{j}.
 \end_layout
 
 \begin_layout Subsection
-Proposition 1.14
+Proposition 1.14 – 
+\begin_inset Quotes ald
+\end_inset
+
+Et vigtigt resultat
+\begin_inset Quotes ard
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -200,7 +208,11 @@ ledende ubekendte
 \end_layout
 
 \begin_layout Subsection
-Proposition 3.11
+Proposition 3.11 (Hovedsætning for 
+\emph on
+løsninger til lineære ligningssystemer
+\emph default
+)
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -322,7 +334,11 @@ Derfor må
 \end_layout
 
 \begin_layout Subsection
-Proposition 10.33
+Proposition 10.33 (Hovedsætning for 
+\emph on
+mindste kvadraters løsninger
+\emph default
+)
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -383,6 +399,49 @@ ordinær
  løsning.
 \end_layout
 
+\begin_layout Paragraph
+Bevis
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
+\end_inset
+
+ er pr.
+ definition indeholdt i 
+\begin_inset Formula $R(A)$
+\end_inset
+
+.
+ Det gælder jf.
+ Proposition 10.32 for alle andre 
+\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}\in R(A)$
+\end_inset
+
+ at 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left\Vert \boldsymbol{b}-A\cdot\boldsymbol{z}\right\Vert \geq\left\Vert \boldsymbol{b}-\boldsymbol{p}\right\Vert 
+\]
+
+\end_inset
+
+med lighedstegn netop når 
+\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}=\boldsymbol{p}$
+\end_inset
+
+.
+ Dette viser at mindste kvadraters løsninger til 
+\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
+\end_inset
+
+ bestemmes som løsningerne til 
+\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
 \begin_layout Subsubsection
 Hjælpesætning - Proposition 10.32
 \end_layout
@@ -432,49 +491,6 @@ for alle
 .
 \end_layout
 
-\begin_layout Paragraph
-Bevis
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
-\end_inset
-
- er pr.
- definition indeholdt i 
-\begin_inset Formula $R(A)$
-\end_inset
-
-.
- Det gælder jf.
- Proposition 10.32 for alle andre 
-\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}\in R(A)$
-\end_inset
-
- at 
-\begin_inset Formula 
-\[
-\left\Vert \boldsymbol{b}-A\cdot\boldsymbol{z}\right\Vert \geq\left\Vert \boldsymbol{b}-\boldsymbol{p}\right\Vert 
-\]
-
-\end_inset
-
-med lighedstegn netop når 
-\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}=\boldsymbol{p}$
-\end_inset
-
-.
- Dette viser at mindste kvadraters løsninger til 
-\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
-\end_inset
-
- bestemmes som løsningerne til 
-\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}$
-\end_inset
-
-.
-\end_layout
-
 \begin_layout Subsection
 Noter
 \end_layout
@@ -486,5 +502,449 @@ Proposition 10.36 er også nævnt i dispositionerne.
  ud af det! Skal den med? IDK!
 \end_layout
 
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Newpage newpage
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Invertible matricer
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Lemma 4.3 (Målsætning uden bevis)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Antag at 
+\begin_inset Formula $A\in{\rm Mat}_{n}(\mathbb{F})$
+\end_inset
+
+ er en invertibel matrix og 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\in\mathbb{F}^{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Da vil ligningssystemet 
+\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
+\end_inset
+
+ have præcis én løsning.
+ Denne vil være lig 
+\begin_inset Formula $A^{-1}\cdot\boldsymbol{b}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Lemma 4.4 (Hovedsætning)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Antag 
+\begin_inset Formula $A\in{\rm Mat}_{n}(\mathbb{F})$
+\end_inset
+
+ (OBS! 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ er kvadratisk!) og lad 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ bestemme en matrix på 
+\begin_inset Formula $RREF$
+\end_inset
+
+, der er rækkeækvivalent med 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ Følgende udsagn er da ækvivalente
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+For enhver vektor 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\in\mathbb{F}^{n}$
+\end_inset
+
+ vil det lineære ligningssystem 
+\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
+\end_inset
+
+ udelukkende have præcis én løsning.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Det homogene lineære liningssystem 
+\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
+\end_inset
+
+ har kun nulvektoren 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
+\end_inset
+
+ som løsning.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Det homogene (fuldstændigt) reducerede ligningssystem 
+\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
+\end_inset
+
+ har 
+\emph on
+ingen frie ubekendte.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Matricen 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ er lig identitetsmatricen 
+\begin_inset Formula ${\rm I}_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Paragraph
+Bevis
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $(1)\Rightarrow(2)$
+\end_inset
+
+: Oplagt, da nulvektoren 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
+\end_inset
+
+ er en løsning til ethvert homogent ligningssystem.
+ (1) giver da at dette må være den éneste løsning.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $(2)\Rightarrow(3)$
+\end_inset
+
+: Da de to ligningssystemer 
+\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
+\end_inset
+
+ og 
+\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
+\end_inset
+
+ er ækvivalente har de samme løsningsmængde.
+ Hvis 
+\begin_inset Formula $(2)$
+\end_inset
+
+ er opfyldt har 
+\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
+\end_inset
+
+ præcis én løsning, hvilket giver at der ikke er frie variable i ligningssysteme
+t.
+ Dette opfylder jf.
+ Proposition 1.9 (ingen frie variable ved antal pivoter svarende til antal
+ ligninger (RREF i matrix-speak)) (3) ud fra (2).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $(3)\Rightarrow(4)$
+\end_inset
+
+: Da 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ er på RREF, så må der eksistere en følge af naturlige tal
+\begin_inset Formula 
+\[
+1\leq d_{1}<d_{2}<\cdots<d_{r}\leq n,
+\]
+
+\end_inset
+
+hvor 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ er antallet af pivoter, såleds at de krævede egenskaber for RREF er opfyldt.
+ Den 
+\begin_inset Formula $(i,j)$
+\end_inset
+
+'te indgang i 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ betegns med 
+\begin_inset Formula $h_{i,j}$
+\end_inset
+
+.
+ Da har vi specielt, at
+\begin_inset Formula 
+\[
+h_{i,d_{j}=}\begin{cases}
+1 & {\rm hvis}\quad i=j,j\leq r\\
+0 & {\rm hvis}\quad i\neq j,j\leq r
+\end{cases}.
+\]
+
+\end_inset
+
+(
+\emph on
+Nævn eventuelt Kroeneckers delta i relation til dette)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Det er givet at 
+\begin_inset Formula $x_{d_{1}},x_{d_{2}},\dots,x_{d_{r}}$
+\end_inset
+
+ er de ledende ubekendte for det lineære ligningssystem 
+\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
+\end_inset
+
+.
+ Da der ikke er frie ubekendte for 
+\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
+\end_inset
+
+ jf.
+ (3), så må 
+\begin_inset Formula $r=n$
+\end_inset
+
+ og 
+\begin_inset Formula $d_{i}=i$
+\end_inset
+
+ for 
+\begin_inset Formula $i=1,2,\dots,n$
+\end_inset
+
+.
+ Dermed giver ovenstående at 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ er identitetsmatricen 
+\begin_inset Formula ${\rm I}_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $(4)\Rightarrow(1)$
+\end_inset
+
+: Hvis (4) er opfyldt vil totalmatricen 
+\begin_inset Formula $(A\mid\boldsymbol{b})$
+\end_inset
+
+ (dvs.
+ for systemet 
+\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
+\end_inset
+
+) være rækkeækvivalent med 
+\begin_inset Formula $({\rm I}_{n}\mid\boldsymbol{c})$
+\end_inset
+
+ for en passende vektor 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{c}\in\mathbb{F}^{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Særligt vil løsningsmængderne for 
+\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
+\end_inset
+
+ og 
+\begin_inset Formula $I_{n}\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{c}$
+\end_inset
+
+ være identiske.
+ 
+\begin_inset Formula ${\rm I}_{n}\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{c}$
+\end_inset
+
+ har imidlertid kun løsningen 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{c}$
+\end_inset
+
+, hvilket opfylder (1) (præcis én løsning).
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Lemma 4.5 (Leder op til 4.6, perspektiv uden bevis)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+For en kvadratisk matrix 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, der opfylder et af de fire udsagn i Lemma 4.4, vil der eksistere en kvadratisk
+ matrix 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ af samme størrelse som 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, således at 
+\begin_inset Formula $A\cdot B={\rm I}_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Lemma 4.6 (Vigtig konklusion)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En kvadratisk matrix 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ er invertibel hvis og kun hvis 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ opfylder de ækvivalente udsagn i Lemma 4.4.
+\end_layout
+
+\begin_layout Paragraph
+Bevis
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Først vises at en invertibel matrix opfylder udsagnene i Lemma 4.4: Lemma
+ 4.3 giver at en invertibel matrix vil opfylde udsagn (1) i Lemma 4.4.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Det ønskes nu at vise at en matrix, der opfylder udsagnene i Lemma 4.4 er
+ invertibel: Det antages, at 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ opfylder udsagnene i Lemma 4.4.
+ Ifølge Lemma 4.5 eksisterer der dermed en kvadratisk matrix af samme størrelse
+ 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+, så 
+\begin_inset Formula $A\cdot B={\rm I}_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Det påstås at 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ opfylder udsagn 
+\begin_inset Formula $(2)$
+\end_inset
+
+ i Lemma 
+\begin_inset Formula $4.4$
+\end_inset
+
+.
+ Lad en vektor 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
+\end_inset
+
+ med 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ indgange være en løsning til det homogene ligningssystem 
+\begin_inset Formula $B\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
+\end_inset
+
+.
+ Da vil
+\begin_inset Formula 
+\begin{align*}
+\boldsymbol{v} & ={\rm I}_{n}\cdot\boldsymbol{v}\\
+ & =(A\cdot B)\cdot\boldsymbol{v}\\
+ & =A\cdot(B\cdot\boldsymbol{v})\\
+ & =A\cdot\boldsymbol{0}\\
+ & =\boldsymbol{0}.
+\end{align*}
+
+\end_inset
+
+Nu kan vi anvende Lemma 4.5 på 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ og konkludere, at der eksisterer endnu en kvadratisk matrix af samme størrelse
+ 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+, så 
+\begin_inset Formula $B\cdot C={\rm I}_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Det ønskes nu at vise at 
+\begin_inset Formula $C=A$
+\end_inset
+
+, hvilket giver at 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ er en invers til 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ Dette vises ved
+\begin_inset Formula 
+\begin{align*}
+A & =A\cdot{\rm I}_{n}\\
+ & =A\cdot(B\cdot C)\\
+ & =(A\cdot B)\cdot C\\
+ & ={\rm I}_{n}\cdot C\\
+ & =C.
+\end{align*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Beviset er nu afsluttet.
+\end_layout
+
 \end_body
 \end_document