diff --git a/beviser.lyx b/beviser.lyx index f615b1d..ca49d6b 100644 --- a/beviser.lyx +++ b/beviser.lyx @@ -81,7 +81,7 @@ Løsninger og mindste kvadraters løsninger til lineære ligningssystemer \end_layout \begin_layout Subsection -Lemma 1.5 +Lemma 1.5 (Hovedsætning) \end_layout \begin_layout Standard @@ -149,7 +149,15 @@ l_{i}+\alpha\cdot l_{j}. \end_layout \begin_layout Subsection -Proposition 1.14 +Proposition 1.14 – +\begin_inset Quotes ald +\end_inset + +Et vigtigt resultat +\begin_inset Quotes ard +\end_inset + + \end_layout \begin_layout Standard @@ -200,7 +208,11 @@ ledende ubekendte \end_layout \begin_layout Subsection -Proposition 3.11 +Proposition 3.11 (Hovedsætning for +\emph on +løsninger til lineære ligningssystemer +\emph default +) \end_layout \begin_layout Standard @@ -322,7 +334,11 @@ Derfor må \end_layout \begin_layout Subsection -Proposition 10.33 +Proposition 10.33 (Hovedsætning for +\emph on +mindste kvadraters løsninger +\emph default +) \end_layout \begin_layout Standard @@ -383,6 +399,49 @@ ordinær løsning. \end_layout +\begin_layout Paragraph +Bevis +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$ +\end_inset + + er pr. + definition indeholdt i +\begin_inset Formula $R(A)$ +\end_inset + +. + Det gælder jf. + Proposition 10.32 for alle andre +\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}\in R(A)$ +\end_inset + + at +\begin_inset Formula +\[ +\left\Vert \boldsymbol{b}-A\cdot\boldsymbol{z}\right\Vert \geq\left\Vert \boldsymbol{b}-\boldsymbol{p}\right\Vert +\] + +\end_inset + +med lighedstegn netop når +\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}=\boldsymbol{p}$ +\end_inset + +. + Dette viser at mindste kvadraters løsninger til +\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ +\end_inset + + bestemmes som løsningerne til +\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}$ +\end_inset + +. +\end_layout + \begin_layout Subsubsection Hjælpesætning - Proposition 10.32 \end_layout @@ -432,49 +491,6 @@ for alle . \end_layout -\begin_layout Paragraph -Bevis -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$ -\end_inset - - er pr. - definition indeholdt i -\begin_inset Formula $R(A)$ -\end_inset - -. - Det gælder jf. - Proposition 10.32 for alle andre -\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}\in R(A)$ -\end_inset - - at -\begin_inset Formula -\[ -\left\Vert \boldsymbol{b}-A\cdot\boldsymbol{z}\right\Vert \geq\left\Vert \boldsymbol{b}-\boldsymbol{p}\right\Vert -\] - -\end_inset - -med lighedstegn netop når -\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}=\boldsymbol{p}$ -\end_inset - -. - Dette viser at mindste kvadraters løsninger til -\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ -\end_inset - - bestemmes som løsningerne til -\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}$ -\end_inset - -. -\end_layout - \begin_layout Subsection Noter \end_layout @@ -486,5 +502,449 @@ Proposition 10.36 er også nævnt i dispositionerne. ud af det! Skal den med? IDK! \end_layout +\begin_layout Standard +\begin_inset Newpage newpage +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Invertible matricer +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Lemma 4.3 (Målsætning uden bevis) +\end_layout + +\begin_layout Standard +Antag at +\begin_inset Formula $A\in{\rm Mat}_{n}(\mathbb{F})$ +\end_inset + + er en invertibel matrix og +\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\in\mathbb{F}^{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Da vil ligningssystemet +\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ +\end_inset + + have præcis én løsning. + Denne vil være lig +\begin_inset Formula $A^{-1}\cdot\boldsymbol{b}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Lemma 4.4 (Hovedsætning) +\end_layout + +\begin_layout Standard +Antag +\begin_inset Formula $A\in{\rm Mat}_{n}(\mathbb{F})$ +\end_inset + + (OBS! +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + er kvadratisk!) og lad +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + + bestemme en matrix på +\begin_inset Formula $RREF$ +\end_inset + +, der er rækkeækvivalent med +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + Følgende udsagn er da ækvivalente +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +For enhver vektor +\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\in\mathbb{F}^{n}$ +\end_inset + + vil det lineære ligningssystem +\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ +\end_inset + + udelukkende have præcis én løsning. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Det homogene lineære liningssystem +\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ +\end_inset + + har kun nulvektoren +\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$ +\end_inset + + som løsning. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Det homogene (fuldstændigt) reducerede ligningssystem +\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ +\end_inset + + har +\emph on +ingen frie ubekendte. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Matricen +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + + er lig identitetsmatricen +\begin_inset Formula ${\rm I}_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Paragraph +Bevis +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $(1)\Rightarrow(2)$ +\end_inset + +: Oplagt, da nulvektoren +\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$ +\end_inset + + er en løsning til ethvert homogent ligningssystem. + (1) giver da at dette må være den éneste løsning. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $(2)\Rightarrow(3)$ +\end_inset + +: Da de to ligningssystemer +\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ +\end_inset + + og +\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ +\end_inset + + er ækvivalente har de samme løsningsmængde. + Hvis +\begin_inset Formula $(2)$ +\end_inset + + er opfyldt har +\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ +\end_inset + + præcis én løsning, hvilket giver at der ikke er frie variable i ligningssysteme +t. + Dette opfylder jf. + Proposition 1.9 (ingen frie variable ved antal pivoter svarende til antal + ligninger (RREF i matrix-speak)) (3) ud fra (2). +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $(3)\Rightarrow(4)$ +\end_inset + +: Da +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + + er på RREF, så må der eksistere en følge af naturlige tal +\begin_inset Formula +\[ +1\leq d_{1}<d_{2}<\cdots<d_{r}\leq n, +\] + +\end_inset + +hvor +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + er antallet af pivoter, såleds at de krævede egenskaber for RREF er opfyldt. + Den +\begin_inset Formula $(i,j)$ +\end_inset + +'te indgang i +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + + betegns med +\begin_inset Formula $h_{i,j}$ +\end_inset + +. + Da har vi specielt, at +\begin_inset Formula +\[ +h_{i,d_{j}=}\begin{cases} +1 & {\rm hvis}\quad i=j,j\leq r\\ +0 & {\rm hvis}\quad i\neq j,j\leq r +\end{cases}. +\] + +\end_inset + +( +\emph on +Nævn eventuelt Kroeneckers delta i relation til dette) +\end_layout + +\begin_layout Standard +Det er givet at +\begin_inset Formula $x_{d_{1}},x_{d_{2}},\dots,x_{d_{r}}$ +\end_inset + + er de ledende ubekendte for det lineære ligningssystem +\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ +\end_inset + +. + Da der ikke er frie ubekendte for +\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ +\end_inset + + jf. + (3), så må +\begin_inset Formula $r=n$ +\end_inset + + og +\begin_inset Formula $d_{i}=i$ +\end_inset + + for +\begin_inset Formula $i=1,2,\dots,n$ +\end_inset + +. + Dermed giver ovenstående at +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + + er identitetsmatricen +\begin_inset Formula ${\rm I}_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $(4)\Rightarrow(1)$ +\end_inset + +: Hvis (4) er opfyldt vil totalmatricen +\begin_inset Formula $(A\mid\boldsymbol{b})$ +\end_inset + + (dvs. + for systemet +\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ +\end_inset + +) være rækkeækvivalent med +\begin_inset Formula $({\rm I}_{n}\mid\boldsymbol{c})$ +\end_inset + + for en passende vektor +\begin_inset Formula $\boldsymbol{c}\in\mathbb{F}^{n}$ +\end_inset + +. + Særligt vil løsningsmængderne for +\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ +\end_inset + + og +\begin_inset Formula $I_{n}\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{c}$ +\end_inset + + være identiske. + +\begin_inset Formula ${\rm I}_{n}\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{c}$ +\end_inset + + har imidlertid kun løsningen +\begin_inset Formula $\boldsymbol{c}$ +\end_inset + +, hvilket opfylder (1) (præcis én løsning). +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Lemma 4.5 (Leder op til 4.6, perspektiv uden bevis) +\end_layout + +\begin_layout Standard +For en kvadratisk matrix +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, der opfylder et af de fire udsagn i Lemma 4.4, vil der eksistere en kvadratisk + matrix +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + af samme størrelse som +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, således at +\begin_inset Formula $A\cdot B={\rm I}_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Lemma 4.6 (Vigtig konklusion) +\end_layout + +\begin_layout Standard +En kvadratisk matrix +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + er invertibel hvis og kun hvis +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + opfylder de ækvivalente udsagn i Lemma 4.4. +\end_layout + +\begin_layout Paragraph +Bevis +\end_layout + +\begin_layout Standard +Først vises at en invertibel matrix opfylder udsagnene i Lemma 4.4: Lemma + 4.3 giver at en invertibel matrix vil opfylde udsagn (1) i Lemma 4.4. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Det ønskes nu at vise at en matrix, der opfylder udsagnene i Lemma 4.4 er + invertibel: Det antages, at +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + opfylder udsagnene i Lemma 4.4. + Ifølge Lemma 4.5 eksisterer der dermed en kvadratisk matrix af samme størrelse + +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + +, så +\begin_inset Formula $A\cdot B={\rm I}_{n}$ +\end_inset + +. + Det påstås at +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + opfylder udsagn +\begin_inset Formula $(2)$ +\end_inset + + i Lemma +\begin_inset Formula $4.4$ +\end_inset + +. + Lad en vektor +\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$ +\end_inset + + med +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + indgange være en løsning til det homogene ligningssystem +\begin_inset Formula $B\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ +\end_inset + +. + Da vil +\begin_inset Formula +\begin{align*} +\boldsymbol{v} & ={\rm I}_{n}\cdot\boldsymbol{v}\\ + & =(A\cdot B)\cdot\boldsymbol{v}\\ + & =A\cdot(B\cdot\boldsymbol{v})\\ + & =A\cdot\boldsymbol{0}\\ + & =\boldsymbol{0}. +\end{align*} + +\end_inset + +Nu kan vi anvende Lemma 4.5 på +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + og konkludere, at der eksisterer endnu en kvadratisk matrix af samme størrelse + +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + +, så +\begin_inset Formula $B\cdot C={\rm I}_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Det ønskes nu at vise at +\begin_inset Formula $C=A$ +\end_inset + +, hvilket giver at +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + er en invers til +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + Dette vises ved +\begin_inset Formula +\begin{align*} +A & =A\cdot{\rm I}_{n}\\ + & =A\cdot(B\cdot C)\\ + & =(A\cdot B)\cdot C\\ + & ={\rm I}_{n}\cdot C\\ + & =C. +\end{align*} + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Beviset er nu afsluttet. +\end_layout + \end_body \end_document