beviser til første emne done
This commit is contained in:
parent
a3d2c1d7c2
commit
9bfdccfa99
428
beviser.lyx
428
beviser.lyx
|
|
@ -6,15 +6,20 @@
|
|||
\origin unavailable
|
||||
\textclass article
|
||||
\use_default_options true
|
||||
\begin_modules
|
||||
algorithm2e
|
||||
theorems-ams
|
||||
theorems-ams-extended
|
||||
\end_modules
|
||||
\maintain_unincluded_children false
|
||||
\language english
|
||||
\language danish
|
||||
\language_package default
|
||||
\inputencoding auto
|
||||
\fontencoding global
|
||||
\font_roman "default" "default"
|
||||
\font_sans "default" "default"
|
||||
\font_roman "palatino" "default"
|
||||
\font_sans "biolinum" "default"
|
||||
\font_typewriter "default" "default"
|
||||
\font_math "auto" "auto"
|
||||
\font_math "eulervm" "auto"
|
||||
\font_default_family default
|
||||
\use_non_tex_fonts false
|
||||
\font_sc false
|
||||
|
|
@ -27,6 +32,7 @@
|
|||
\bibtex_command default
|
||||
\index_command default
|
||||
\paperfontsize default
|
||||
\spacing single
|
||||
\use_hyperref false
|
||||
\papersize default
|
||||
\use_geometry false
|
||||
|
|
@ -55,9 +61,9 @@
|
|||
\end_index
|
||||
\secnumdepth 3
|
||||
\tocdepth 3
|
||||
\paragraph_separation indent
|
||||
\paragraph_indentation default
|
||||
\quotes_language english
|
||||
\paragraph_separation skip
|
||||
\defskip medskip
|
||||
\quotes_language danish
|
||||
\papercolumns 1
|
||||
\papersides 1
|
||||
\paperpagestyle default
|
||||
|
|
@ -70,8 +76,414 @@
|
|||
|
||||
\begin_body
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
\begin_layout Section
|
||||
Løsninger og mindste kvadraters løsninger til lineære ligningssystemer
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Subsection
|
||||
Lemma 1.5
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
Et lineært ligningssystem
|
||||
\begin_inset Formula $L^{\prime}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
fremkommer fra et andet ligningssystem
|
||||
\begin_inset Formula $L$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
ved brug af ERO, er de to ligningssystemer ækvivalente.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
Beviset for dette er for én elementær rækkeoperation.
|
||||
Dette er tilstrækkeligt da beviset kan anvendes gentagne gange ved udførslen
|
||||
af flere ERO'er.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Paragraph
|
||||
Bevis
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
Det bemærkes at en løsning til
|
||||
\begin_inset Formula $L$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
også vil være en løsning til
|
||||
\begin_inset Formula
|
||||
\[
|
||||
\alpha\cdot l_{i}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
og
|
||||
\begin_inset Formula
|
||||
\[
|
||||
l_{i}+\alpha\cdot l_{j}.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
Løsningsmængden for
|
||||
\begin_inset Formula $L$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
vil være en delmængde af løsningsmængden for
|
||||
\begin_inset Formula $L^{\prime}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
Et symmetrisk argument gælder for
|
||||
\begin_inset Formula $L^{\prime}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
til
|
||||
\begin_inset Formula $L$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
Derfor må løsningsmængderne være ens.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Subsection
|
||||
Proposition 1.14
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
Et homogent lineært ligningssystem med flere ubekendte end ligninger (dvs.
|
||||
på matrixform: flere søjler end rækker) har en løsning forskellig fra
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Paragraph
|
||||
Bevis
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
Hvis der anvendes Gauss-elimination kan det antages at de homogene lineære
|
||||
ligningssystem er
|
||||
\emph on
|
||||
reduceret
|
||||
\emph default
|
||||
.
|
||||
Da antallet af
|
||||
\emph on
|
||||
ledende ubekendte
|
||||
\emph default
|
||||
er mindre end eller lig antallet af ligninger
|
||||
\begin_inset Formula $m$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
, vil der være mindst
|
||||
\begin_inset Formula $n-m$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
frie ubekendte.
|
||||
Da det er antaget at
|
||||
\begin_inset Formula $m<n$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
vil antallet af frie ubekendte være mindst én.
|
||||
Proposition 1.9 fortæller at der eksisterer løsninger til ligningssystemer,
|
||||
der antager arbitrære værdier for de frie ubekendte.
|
||||
Således eksisterer der helt sikkert en løsning forskellig fra
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Subsection
|
||||
Proposition 3.11
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
Det antages at en vektor
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}_{0}\in\mathbb{F}^{n}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
er en løsning til det lineære ligningssystem
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
og at
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}\in\mathbb{F}^{n}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
er en løsning til det tilsvarende homogene ligningssystem
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
Løsningsmængden til ligningssystemet vil da bestå af alle elementer på
|
||||
formen
|
||||
\begin_inset Formula
|
||||
\[
|
||||
\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}\in\mathbb{F}^{n},
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
for
|
||||
\begin_inset Formula $A\in{\rm Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
og
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\in\mathbb{F}^{n}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Paragraph
|
||||
Bevis
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
Beviset deles op i to tilfælde:
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Enumerate
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}\in\mathbb{F}^{n}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
er en løsning til det lineære ligningssystem
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Enumerate
|
||||
Enhver løsning
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
vil kunne opskrives på formen
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
(1) Det ses at
|
||||
\begin_inset Formula
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A\cdot(\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}) & =A\cdot\boldsymbol{z}+A\cdot\boldsymbol{z_{0}}\\
|
||||
& =\boldsymbol{0}+\boldsymbol{b}\\
|
||||
& =\boldsymbol{b}
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
(2) En løsning
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
til
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
opfylder
|
||||
\begin_inset Formula
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A\cdot(\boldsymbol{z}^{\prime}-\boldsymbol{z}_{0}) & =A\cdot\boldsymbol{z}^{\prime}-A\cdot\boldsymbol{z_{0}}\\
|
||||
& =\boldsymbol{b}-\boldsymbol{b}\\
|
||||
& =\boldsymbol{0}
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
Derfor må
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}-\boldsymbol{z}_{0}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
være en løsning til det homogene lineære ligningssystem
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
Det vil sige at
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}-\boldsymbol{z}_{0}=\boldsymbol{z}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
, og
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
har den ønskede form.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Subsection
|
||||
Proposition 10.33
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
Ethvert lineært ligningssystem har
|
||||
\emph on
|
||||
mindst én
|
||||
\emph default
|
||||
|
||||
\emph on
|
||||
mindste kvadraters løsning
|
||||
\emph default
|
||||
.
|
||||
Mindste kvadraters løsninger til
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
bestemmes som løsningsmængden til det lineære ligningssystem
|
||||
\begin_inset Formula
|
||||
\[
|
||||
A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
hvor
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
betegner den ortogonale projektion af
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
på søjlerummet
|
||||
\begin_inset Formula $R(A)$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
, det vil sige at
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}\in R(A)$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
, mens
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\not\in R(A)$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
Ligningssystemet har altså
|
||||
\emph on
|
||||
ikke
|
||||
\emph default
|
||||
en
|
||||
\begin_inset Quotes ald
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
ordinær
|
||||
\begin_inset Quotes ard
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
løsning.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Subsubsection
|
||||
Hjælpesætning - Proposition 10.32
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
\begin_inset Formula $W$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
er et underrum af et indre produkt rum
|
||||
\begin_inset Formula $V$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}\in V$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
,
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}=W$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
,
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{h}=W^{\perp}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
Det gælder da at
|
||||
\begin_inset Formula
|
||||
\[
|
||||
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{p}+\boldsymbol{h}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
og
|
||||
\begin_inset Formula
|
||||
\[
|
||||
\left\Vert \boldsymbol{v}-\boldsymbol{p}\right\Vert <\left\Vert \boldsymbol{v}-\boldsymbol{w}\right\Vert
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
for alle
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}\in W\setminus\{\boldsymbol{p}\}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Paragraph
|
||||
Bevis
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
er pr.
|
||||
definition indeholdt i
|
||||
\begin_inset Formula $R(A)$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
Det gælder jf.
|
||||
Proposition 10.32 for alle andre
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}\in R(A)$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
at
|
||||
\begin_inset Formula
|
||||
\[
|
||||
\left\Vert \boldsymbol{b}-A\cdot\boldsymbol{z}\right\Vert \geq\left\Vert \boldsymbol{b}-\boldsymbol{p}\right\Vert
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
med lighedstegn netop når
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}=\boldsymbol{p}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
Dette viser at mindste kvadraters løsninger til
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
bestemmes som løsningerne til
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Subsection
|
||||
Noter
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
Proposition 10.36 er også nævnt i dispositionerne.
|
||||
Der er dog nok ikke tid til også at gennemgå denne til eksamen.
|
||||
Studerende til eksamen: Hvor meget tid har de? Har de tid? Lad os finde
|
||||
ud af det! Skal den med? IDK!
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\end_body
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in New Issue
Block a user