491 lines
9.1 KiB
Plaintext
491 lines
9.1 KiB
Plaintext
#LyX 2.2 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
|
|
\lyxformat 508
|
|
\begin_document
|
|
\begin_header
|
|
\save_transient_properties true
|
|
\origin unavailable
|
|
\textclass article
|
|
\use_default_options true
|
|
\begin_modules
|
|
algorithm2e
|
|
theorems-ams
|
|
theorems-ams-extended
|
|
\end_modules
|
|
\maintain_unincluded_children false
|
|
\language danish
|
|
\language_package default
|
|
\inputencoding auto
|
|
\fontencoding global
|
|
\font_roman "palatino" "default"
|
|
\font_sans "biolinum" "default"
|
|
\font_typewriter "default" "default"
|
|
\font_math "eulervm" "auto"
|
|
\font_default_family default
|
|
\use_non_tex_fonts false
|
|
\font_sc false
|
|
\font_osf false
|
|
\font_sf_scale 100 100
|
|
\font_tt_scale 100 100
|
|
\graphics default
|
|
\default_output_format default
|
|
\output_sync 0
|
|
\bibtex_command default
|
|
\index_command default
|
|
\paperfontsize default
|
|
\spacing single
|
|
\use_hyperref false
|
|
\papersize default
|
|
\use_geometry false
|
|
\use_package amsmath 1
|
|
\use_package amssymb 1
|
|
\use_package cancel 1
|
|
\use_package esint 1
|
|
\use_package mathdots 1
|
|
\use_package mathtools 1
|
|
\use_package mhchem 1
|
|
\use_package stackrel 1
|
|
\use_package stmaryrd 1
|
|
\use_package undertilde 1
|
|
\cite_engine basic
|
|
\cite_engine_type default
|
|
\biblio_style plain
|
|
\use_bibtopic false
|
|
\use_indices false
|
|
\paperorientation portrait
|
|
\suppress_date false
|
|
\justification true
|
|
\use_refstyle 1
|
|
\index Index
|
|
\shortcut idx
|
|
\color #008000
|
|
\end_index
|
|
\secnumdepth 3
|
|
\tocdepth 3
|
|
\paragraph_separation skip
|
|
\defskip medskip
|
|
\quotes_language danish
|
|
\papercolumns 1
|
|
\papersides 1
|
|
\paperpagestyle default
|
|
\tracking_changes false
|
|
\output_changes false
|
|
\html_math_output 0
|
|
\html_css_as_file 0
|
|
\html_be_strict false
|
|
\end_header
|
|
|
|
\begin_body
|
|
|
|
\begin_layout Section
|
|
Løsninger og mindste kvadraters løsninger til lineære ligningssystemer
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Subsection
|
|
Lemma 1.5
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Standard
|
|
Et lineært ligningssystem
|
|
\begin_inset Formula $L^{\prime}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
fremkommer fra et andet ligningssystem
|
|
\begin_inset Formula $L$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
ved brug af ERO, er de to ligningssystemer ækvivalente.
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Standard
|
|
Beviset for dette er for én elementær rækkeoperation.
|
|
Dette er tilstrækkeligt da beviset kan anvendes gentagne gange ved udførslen
|
|
af flere ERO'er.
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Paragraph
|
|
Bevis
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Standard
|
|
Det bemærkes at en løsning til
|
|
\begin_inset Formula $L$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
også vil være en løsning til
|
|
\begin_inset Formula
|
|
\[
|
|
\alpha\cdot l_{i}
|
|
\]
|
|
|
|
\end_inset
|
|
|
|
og
|
|
\begin_inset Formula
|
|
\[
|
|
l_{i}+\alpha\cdot l_{j}.
|
|
\]
|
|
|
|
\end_inset
|
|
|
|
Løsningsmængden for
|
|
\begin_inset Formula $L$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
vil være en delmængde af løsningsmængden for
|
|
\begin_inset Formula $L^{\prime}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
.
|
|
Et symmetrisk argument gælder for
|
|
\begin_inset Formula $L^{\prime}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
til
|
|
\begin_inset Formula $L$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
.
|
|
Derfor må løsningsmængderne være ens.
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Subsection
|
|
Proposition 1.14
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Standard
|
|
Et homogent lineært ligningssystem med flere ubekendte end ligninger (dvs.
|
|
på matrixform: flere søjler end rækker) har en løsning forskellig fra
|
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
.
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Paragraph
|
|
Bevis
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Standard
|
|
Hvis der anvendes Gauss-elimination kan det antages at de homogene lineære
|
|
ligningssystem er
|
|
\emph on
|
|
reduceret
|
|
\emph default
|
|
.
|
|
Da antallet af
|
|
\emph on
|
|
ledende ubekendte
|
|
\emph default
|
|
er mindre end eller lig antallet af ligninger
|
|
\begin_inset Formula $m$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
, vil der være mindst
|
|
\begin_inset Formula $n-m$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
frie ubekendte.
|
|
Da det er antaget at
|
|
\begin_inset Formula $m<n$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
vil antallet af frie ubekendte være mindst én.
|
|
Proposition 1.9 fortæller at der eksisterer løsninger til ligningssystemer,
|
|
der antager arbitrære værdier for de frie ubekendte.
|
|
Således eksisterer der helt sikkert en løsning forskellig fra
|
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
.
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Subsection
|
|
Proposition 3.11
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Standard
|
|
Det antages at en vektor
|
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}_{0}\in\mathbb{F}^{n}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
er en løsning til det lineære ligningssystem
|
|
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
og at
|
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}\in\mathbb{F}^{n}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
er en løsning til det tilsvarende homogene ligningssystem
|
|
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
.
|
|
Løsningsmængden til ligningssystemet vil da bestå af alle elementer på
|
|
formen
|
|
\begin_inset Formula
|
|
\[
|
|
\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}\in\mathbb{F}^{n},
|
|
\]
|
|
|
|
\end_inset
|
|
|
|
for
|
|
\begin_inset Formula $A\in{\rm Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
og
|
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\in\mathbb{F}^{n}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
.
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Paragraph
|
|
Bevis
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Standard
|
|
Beviset deles op i to tilfælde:
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Enumerate
|
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}\in\mathbb{F}^{n}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
er en løsning til det lineære ligningssystem
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Enumerate
|
|
Enhver løsning
|
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
vil kunne opskrives på formen
|
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Standard
|
|
(1) Det ses at
|
|
\begin_inset Formula
|
|
\begin{align*}
|
|
A\cdot(\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}) & =A\cdot\boldsymbol{z}+A\cdot\boldsymbol{z_{0}}\\
|
|
& =\boldsymbol{0}+\boldsymbol{b}\\
|
|
& =\boldsymbol{b}
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\end_inset
|
|
|
|
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Standard
|
|
(2) En løsning
|
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
til
|
|
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
opfylder
|
|
\begin_inset Formula
|
|
\begin{align*}
|
|
A\cdot(\boldsymbol{z}^{\prime}-\boldsymbol{z}_{0}) & =A\cdot\boldsymbol{z}^{\prime}-A\cdot\boldsymbol{z_{0}}\\
|
|
& =\boldsymbol{b}-\boldsymbol{b}\\
|
|
& =\boldsymbol{0}
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\end_inset
|
|
|
|
Derfor må
|
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}-\boldsymbol{z}_{0}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
være en løsning til det homogene lineære ligningssystem
|
|
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
.
|
|
Det vil sige at
|
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}-\boldsymbol{z}_{0}=\boldsymbol{z}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
, og
|
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
har den ønskede form.
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Subsection
|
|
Proposition 10.33
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Standard
|
|
Ethvert lineært ligningssystem har
|
|
\emph on
|
|
mindst én
|
|
\emph default
|
|
|
|
\emph on
|
|
mindste kvadraters løsning
|
|
\emph default
|
|
.
|
|
Mindste kvadraters løsninger til
|
|
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
bestemmes som løsningsmængden til det lineære ligningssystem
|
|
\begin_inset Formula
|
|
\[
|
|
A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}
|
|
\]
|
|
|
|
\end_inset
|
|
|
|
hvor
|
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
betegner den ortogonale projektion af
|
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
på søjlerummet
|
|
\begin_inset Formula $R(A)$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
, det vil sige at
|
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}\in R(A)$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
, mens
|
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\not\in R(A)$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
.
|
|
Ligningssystemet har altså
|
|
\emph on
|
|
ikke
|
|
\emph default
|
|
en
|
|
\begin_inset Quotes ald
|
|
\end_inset
|
|
|
|
ordinær
|
|
\begin_inset Quotes ard
|
|
\end_inset
|
|
|
|
løsning.
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Subsubsection
|
|
Hjælpesætning - Proposition 10.32
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Standard
|
|
\begin_inset Formula $W$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
er et underrum af et indre produkt rum
|
|
\begin_inset Formula $V$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
.
|
|
|
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}\in V$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
,
|
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}=W$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
,
|
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{h}=W^{\perp}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
.
|
|
Det gælder da at
|
|
\begin_inset Formula
|
|
\[
|
|
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{p}+\boldsymbol{h}
|
|
\]
|
|
|
|
\end_inset
|
|
|
|
og
|
|
\begin_inset Formula
|
|
\[
|
|
\left\Vert \boldsymbol{v}-\boldsymbol{p}\right\Vert <\left\Vert \boldsymbol{v}-\boldsymbol{w}\right\Vert
|
|
\]
|
|
|
|
\end_inset
|
|
|
|
for alle
|
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}\in W\setminus\{\boldsymbol{p}\}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
.
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Paragraph
|
|
Bevis
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Standard
|
|
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
er pr.
|
|
definition indeholdt i
|
|
\begin_inset Formula $R(A)$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
.
|
|
Det gælder jf.
|
|
Proposition 10.32 for alle andre
|
|
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}\in R(A)$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
at
|
|
\begin_inset Formula
|
|
\[
|
|
\left\Vert \boldsymbol{b}-A\cdot\boldsymbol{z}\right\Vert \geq\left\Vert \boldsymbol{b}-\boldsymbol{p}\right\Vert
|
|
\]
|
|
|
|
\end_inset
|
|
|
|
med lighedstegn netop når
|
|
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}=\boldsymbol{p}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
.
|
|
Dette viser at mindste kvadraters løsninger til
|
|
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
bestemmes som løsningerne til
|
|
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}$
|
|
\end_inset
|
|
|
|
.
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Subsection
|
|
Noter
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\begin_layout Standard
|
|
Proposition 10.36 er også nævnt i dispositionerne.
|
|
Der er dog nok ikke tid til også at gennemgå denne til eksamen.
|
|
Studerende til eksamen: Hvor meget tid har de? Har de tid? Lad os finde
|
|
ud af det! Skal den med? IDK!
|
|
\end_layout
|
|
|
|
\end_body
|
|
\end_document
|