#LyX 2.2 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 508
\begin_document
\begin_header
\save_transient_properties true
\origin unavailable
\textclass article
\use_default_options true
\begin_modules
algorithm2e
theorems-ams
theorems-ams-extended
\end_modules
\maintain_unincluded_children false
\language danish
\language_package default
\inputencoding auto
\fontencoding global
\font_roman "palatino" "default"
\font_sans "biolinum" "default"
\font_typewriter "default" "default"
\font_math "eulervm" "auto"
\font_default_family default
\use_non_tex_fonts false
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100 100
\font_tt_scale 100 100
\graphics default
\default_output_format default
\output_sync 0
\bibtex_command default
\index_command default
\paperfontsize default
\spacing single
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry false
\use_package amsmath 1
\use_package amssymb 1
\use_package cancel 1
\use_package esint 1
\use_package mathdots 1
\use_package mathtools 1
\use_package mhchem 1
\use_package stackrel 1
\use_package stmaryrd 1
\use_package undertilde 1
\cite_engine basic
\cite_engine_type default
\biblio_style plain
\use_bibtopic false
\use_indices false
\paperorientation portrait
\suppress_date false
\justification true
\use_refstyle 1
\index Index
\shortcut idx
\color #008000
\end_index
\secnumdepth 3
\tocdepth 3
\paragraph_separation skip
\defskip medskip
\quotes_language danish
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\html_math_output 0
\html_css_as_file 0
\html_be_strict false
\end_header

\begin_body

\begin_layout Section
Løsninger og mindste kvadraters løsninger til lineære ligningssystemer
\end_layout

\begin_layout Subsection
Lemma 1.5
\end_layout

\begin_layout Standard
Et lineært ligningssystem 
\begin_inset Formula $L^{\prime}$
\end_inset

 fremkommer fra et andet ligningssystem 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 ved brug af ERO, er de to ligningssystemer ækvivalente.
\end_layout

\begin_layout Standard
Beviset for dette er for én elementær rækkeoperation.
 Dette er tilstrækkeligt da beviset kan anvendes gentagne gange ved udførslen
 af flere ERO'er.
\end_layout

\begin_layout Paragraph
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
Det bemærkes at en løsning til 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 også vil være en løsning til
\begin_inset Formula 
\[
\alpha\cdot l_{i}
\]

\end_inset

og
\begin_inset Formula 
\[
l_{i}+\alpha\cdot l_{j}.
\]

\end_inset

 Løsningsmængden for 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 vil være en delmængde af løsningsmængden for 
\begin_inset Formula $L^{\prime}$
\end_inset

.
 Et symmetrisk argument gælder for 
\begin_inset Formula $L^{\prime}$
\end_inset

 til 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

.
 Derfor må løsningsmængderne være ens.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Proposition 1.14
\end_layout

\begin_layout Standard
Et homogent lineært ligningssystem med flere ubekendte end ligninger (dvs.
 på matrixform: flere søjler end rækker) har en løsning forskellig fra 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Paragraph
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
Hvis der anvendes Gauss-elimination kan det antages at de homogene lineære
 ligningssystem er 
\emph on
reduceret
\emph default
.
 Da antallet af 
\emph on
ledende ubekendte
\emph default
 er mindre end eller lig antallet af ligninger 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

, vil der være mindst 
\begin_inset Formula $n-m$
\end_inset

 frie ubekendte.
 Da det er antaget at 
\begin_inset Formula $m<n$
\end_inset

 vil antallet af frie ubekendte være mindst én.
 Proposition 1.9 fortæller at der eksisterer løsninger til ligningssystemer,
 der antager arbitrære værdier for de frie ubekendte.
 Således eksisterer der helt sikkert en løsning forskellig fra 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Proposition 3.11
\end_layout

\begin_layout Standard
Det antages at en vektor 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}_{0}\in\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

 er en løsning til det lineære ligningssystem 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
\end_inset

 og at 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}\in\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

 er en løsning til det tilsvarende homogene ligningssystem 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
\end_inset

.
 Løsningsmængden til ligningssystemet vil da bestå af alle elementer på
 formen
\begin_inset Formula 
\[
\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}\in\mathbb{F}^{n},
\]

\end_inset

for 
\begin_inset Formula $A\in{\rm Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\in\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Paragraph
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
Beviset deles op i to tilfælde:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}\in\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

 er en løsning til det lineære ligningssystem
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Enhver løsning 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}$
\end_inset

 vil kunne opskrives på formen 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
(1) Det ses at
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
A\cdot(\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}) & =A\cdot\boldsymbol{z}+A\cdot\boldsymbol{z_{0}}\\
 & =\boldsymbol{0}+\boldsymbol{b}\\
 & =\boldsymbol{b}
\end{align*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
(2) En løsning 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}$
\end_inset

 til 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
\end_inset

 opfylder
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
A\cdot(\boldsymbol{z}^{\prime}-\boldsymbol{z}_{0}) & =A\cdot\boldsymbol{z}^{\prime}-A\cdot\boldsymbol{z_{0}}\\
 & =\boldsymbol{b}-\boldsymbol{b}\\
 & =\boldsymbol{0}
\end{align*}

\end_inset

Derfor må 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}-\boldsymbol{z}_{0}$
\end_inset

 være en løsning til det homogene lineære ligningssystem 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
\end_inset

.
 Det vil sige at 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}-\boldsymbol{z}_{0}=\boldsymbol{z}$
\end_inset

, og 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}$
\end_inset

 har den ønskede form.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Proposition 10.33
\end_layout

\begin_layout Standard
Ethvert lineært ligningssystem har 
\emph on
mindst én
\emph default
 
\emph on
mindste kvadraters løsning
\emph default
.
 Mindste kvadraters løsninger til 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
\end_inset

 bestemmes som løsningsmængden til det lineære ligningssystem
\begin_inset Formula 
\[
A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}
\]

\end_inset

hvor 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
\end_inset

 betegner den ortogonale projektion af 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}$
\end_inset

 på søjlerummet 
\begin_inset Formula $R(A)$
\end_inset

, det vil sige at 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}\in R(A)$
\end_inset

, mens 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\not\in R(A)$
\end_inset

.
 Ligningssystemet har altså 
\emph on
ikke
\emph default
 en 
\begin_inset Quotes ald
\end_inset

ordinær
\begin_inset Quotes ard
\end_inset

 løsning.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Hjælpesætning - Proposition 10.32
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 er et underrum af et indre produkt rum 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}\in V$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}=W$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{h}=W^{\perp}$
\end_inset

.
 Det gælder da at
\begin_inset Formula 
\[
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{p}+\boldsymbol{h}
\]

\end_inset

og
\begin_inset Formula 
\[
\left\Vert \boldsymbol{v}-\boldsymbol{p}\right\Vert <\left\Vert \boldsymbol{v}-\boldsymbol{w}\right\Vert 
\]

\end_inset

for alle 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}\in W\setminus\{\boldsymbol{p}\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Paragraph
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
\end_inset

 er pr.
 definition indeholdt i 
\begin_inset Formula $R(A)$
\end_inset

.
 Det gælder jf.
 Proposition 10.32 for alle andre 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}\in R(A)$
\end_inset

 at 
\begin_inset Formula 
\[
\left\Vert \boldsymbol{b}-A\cdot\boldsymbol{z}\right\Vert \geq\left\Vert \boldsymbol{b}-\boldsymbol{p}\right\Vert 
\]

\end_inset

med lighedstegn netop når 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}=\boldsymbol{p}$
\end_inset

.
 Dette viser at mindste kvadraters løsninger til 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
\end_inset

 bestemmes som løsningerne til 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Noter
\end_layout

\begin_layout Standard
Proposition 10.36 er også nævnt i dispositionerne.
 Der er dog nok ikke tid til også at gennemgå denne til eksamen.
 Studerende til eksamen: Hvor meget tid har de? Har de tid? Lad os finde
 ud af det! Skal den med? IDK!
\end_layout

\end_body
\end_document