emne 2 done
This commit is contained in:
parent
9bfdccfa99
commit
18fd9efa24
554
beviser.lyx
554
beviser.lyx
|
|
@ -81,7 +81,7 @@ Løsninger og mindste kvadraters løsninger til lineære ligningssystemer
|
|||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Subsection
|
||||
Lemma 1.5
|
||||
Lemma 1.5 (Hovedsætning)
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
|
|
@ -149,7 +149,15 @@ l_{i}+\alpha\cdot l_{j}.
|
|||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Subsection
|
||||
Proposition 1.14
|
||||
Proposition 1.14 –
|
||||
\begin_inset Quotes ald
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
Et vigtigt resultat
|
||||
\begin_inset Quotes ard
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
|
|
@ -200,7 +208,11 @@ ledende ubekendte
|
|||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Subsection
|
||||
Proposition 3.11
|
||||
Proposition 3.11 (Hovedsætning for
|
||||
\emph on
|
||||
løsninger til lineære ligningssystemer
|
||||
\emph default
|
||||
)
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
|
|
@ -322,7 +334,11 @@ Derfor må
|
|||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Subsection
|
||||
Proposition 10.33
|
||||
Proposition 10.33 (Hovedsætning for
|
||||
\emph on
|
||||
mindste kvadraters løsninger
|
||||
\emph default
|
||||
)
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
|
|
@ -383,6 +399,49 @@ ordinær
|
|||
løsning.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Paragraph
|
||||
Bevis
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
er pr.
|
||||
definition indeholdt i
|
||||
\begin_inset Formula $R(A)$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
Det gælder jf.
|
||||
Proposition 10.32 for alle andre
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}\in R(A)$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
at
|
||||
\begin_inset Formula
|
||||
\[
|
||||
\left\Vert \boldsymbol{b}-A\cdot\boldsymbol{z}\right\Vert \geq\left\Vert \boldsymbol{b}-\boldsymbol{p}\right\Vert
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
med lighedstegn netop når
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}=\boldsymbol{p}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
Dette viser at mindste kvadraters løsninger til
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
bestemmes som løsningerne til
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Subsubsection
|
||||
Hjælpesætning - Proposition 10.32
|
||||
\end_layout
|
||||
|
|
@ -432,49 +491,6 @@ for alle
|
|||
.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Paragraph
|
||||
Bevis
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
er pr.
|
||||
definition indeholdt i
|
||||
\begin_inset Formula $R(A)$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
Det gælder jf.
|
||||
Proposition 10.32 for alle andre
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}\in R(A)$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
at
|
||||
\begin_inset Formula
|
||||
\[
|
||||
\left\Vert \boldsymbol{b}-A\cdot\boldsymbol{z}\right\Vert \geq\left\Vert \boldsymbol{b}-\boldsymbol{p}\right\Vert
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
med lighedstegn netop når
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}=\boldsymbol{p}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
Dette viser at mindste kvadraters løsninger til
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
bestemmes som løsningerne til
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Subsection
|
||||
Noter
|
||||
\end_layout
|
||||
|
|
@ -486,5 +502,449 @@ Proposition 10.36 er også nævnt i dispositionerne.
|
|||
ud af det! Skal den med? IDK!
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
\begin_inset Newpage newpage
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Section
|
||||
Invertible matricer
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Subsection
|
||||
Lemma 4.3 (Målsætning uden bevis)
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
Antag at
|
||||
\begin_inset Formula $A\in{\rm Mat}_{n}(\mathbb{F})$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
er en invertibel matrix og
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\in\mathbb{F}^{n}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
Da vil ligningssystemet
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
have præcis én løsning.
|
||||
Denne vil være lig
|
||||
\begin_inset Formula $A^{-1}\cdot\boldsymbol{b}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Subsection
|
||||
Lemma 4.4 (Hovedsætning)
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
Antag
|
||||
\begin_inset Formula $A\in{\rm Mat}_{n}(\mathbb{F})$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
(OBS!
|
||||
\begin_inset Formula $A$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
er kvadratisk!) og lad
|
||||
\begin_inset Formula $H$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
bestemme en matrix på
|
||||
\begin_inset Formula $RREF$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
, der er rækkeækvivalent med
|
||||
\begin_inset Formula $A$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
Følgende udsagn er da ækvivalente
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Enumerate
|
||||
For enhver vektor
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\in\mathbb{F}^{n}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
vil det lineære ligningssystem
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
udelukkende have præcis én løsning.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Enumerate
|
||||
Det homogene lineære liningssystem
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
har kun nulvektoren
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
som løsning.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Enumerate
|
||||
Det homogene (fuldstændigt) reducerede ligningssystem
|
||||
\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
har
|
||||
\emph on
|
||||
ingen frie ubekendte.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Enumerate
|
||||
Matricen
|
||||
\begin_inset Formula $H$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
er lig identitetsmatricen
|
||||
\begin_inset Formula ${\rm I}_{n}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Paragraph
|
||||
Bevis
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
\begin_inset Formula $(1)\Rightarrow(2)$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
: Oplagt, da nulvektoren
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
er en løsning til ethvert homogent ligningssystem.
|
||||
(1) giver da at dette må være den éneste løsning.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
\begin_inset Formula $(2)\Rightarrow(3)$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
: Da de to ligningssystemer
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
og
|
||||
\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
er ækvivalente har de samme løsningsmængde.
|
||||
Hvis
|
||||
\begin_inset Formula $(2)$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
er opfyldt har
|
||||
\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
præcis én løsning, hvilket giver at der ikke er frie variable i ligningssysteme
|
||||
t.
|
||||
Dette opfylder jf.
|
||||
Proposition 1.9 (ingen frie variable ved antal pivoter svarende til antal
|
||||
ligninger (RREF i matrix-speak)) (3) ud fra (2).
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
\begin_inset Formula $(3)\Rightarrow(4)$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
: Da
|
||||
\begin_inset Formula $H$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
er på RREF, så må der eksistere en følge af naturlige tal
|
||||
\begin_inset Formula
|
||||
\[
|
||||
1\leq d_{1}<d_{2}<\cdots<d_{r}\leq n,
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
hvor
|
||||
\begin_inset Formula $r$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
er antallet af pivoter, såleds at de krævede egenskaber for RREF er opfyldt.
|
||||
Den
|
||||
\begin_inset Formula $(i,j)$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
'te indgang i
|
||||
\begin_inset Formula $H$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
betegns med
|
||||
\begin_inset Formula $h_{i,j}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
Da har vi specielt, at
|
||||
\begin_inset Formula
|
||||
\[
|
||||
h_{i,d_{j}=}\begin{cases}
|
||||
1 & {\rm hvis}\quad i=j,j\leq r\\
|
||||
0 & {\rm hvis}\quad i\neq j,j\leq r
|
||||
\end{cases}.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
(
|
||||
\emph on
|
||||
Nævn eventuelt Kroeneckers delta i relation til dette)
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
Det er givet at
|
||||
\begin_inset Formula $x_{d_{1}},x_{d_{2}},\dots,x_{d_{r}}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
er de ledende ubekendte for det lineære ligningssystem
|
||||
\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
Da der ikke er frie ubekendte for
|
||||
\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
jf.
|
||||
(3), så må
|
||||
\begin_inset Formula $r=n$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
og
|
||||
\begin_inset Formula $d_{i}=i$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
for
|
||||
\begin_inset Formula $i=1,2,\dots,n$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
Dermed giver ovenstående at
|
||||
\begin_inset Formula $H$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
er identitetsmatricen
|
||||
\begin_inset Formula ${\rm I}_{n}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
\begin_inset Formula $(4)\Rightarrow(1)$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
: Hvis (4) er opfyldt vil totalmatricen
|
||||
\begin_inset Formula $(A\mid\boldsymbol{b})$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
(dvs.
|
||||
for systemet
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
) være rækkeækvivalent med
|
||||
\begin_inset Formula $({\rm I}_{n}\mid\boldsymbol{c})$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
for en passende vektor
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{c}\in\mathbb{F}^{n}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
Særligt vil løsningsmængderne for
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
og
|
||||
\begin_inset Formula $I_{n}\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{c}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
være identiske.
|
||||
|
||||
\begin_inset Formula ${\rm I}_{n}\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{c}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
har imidlertid kun løsningen
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{c}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
, hvilket opfylder (1) (præcis én løsning).
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Subsection
|
||||
Lemma 4.5 (Leder op til 4.6, perspektiv uden bevis)
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
For en kvadratisk matrix
|
||||
\begin_inset Formula $A$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
, der opfylder et af de fire udsagn i Lemma 4.4, vil der eksistere en kvadratisk
|
||||
matrix
|
||||
\begin_inset Formula $B$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
af samme størrelse som
|
||||
\begin_inset Formula $A$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
, således at
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot B={\rm I}_{n}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Subsection
|
||||
Lemma 4.6 (Vigtig konklusion)
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
En kvadratisk matrix
|
||||
\begin_inset Formula $A$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
er invertibel hvis og kun hvis
|
||||
\begin_inset Formula $A$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
opfylder de ækvivalente udsagn i Lemma 4.4.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Paragraph
|
||||
Bevis
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
Først vises at en invertibel matrix opfylder udsagnene i Lemma 4.4: Lemma
|
||||
4.3 giver at en invertibel matrix vil opfylde udsagn (1) i Lemma 4.4.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
Det ønskes nu at vise at en matrix, der opfylder udsagnene i Lemma 4.4 er
|
||||
invertibel: Det antages, at
|
||||
\begin_inset Formula $A$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
opfylder udsagnene i Lemma 4.4.
|
||||
Ifølge Lemma 4.5 eksisterer der dermed en kvadratisk matrix af samme størrelse
|
||||
|
||||
\begin_inset Formula $B$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
, så
|
||||
\begin_inset Formula $A\cdot B={\rm I}_{n}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
Det påstås at
|
||||
\begin_inset Formula $B$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
opfylder udsagn
|
||||
\begin_inset Formula $(2)$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
i Lemma
|
||||
\begin_inset Formula $4.4$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
Lad en vektor
|
||||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
med
|
||||
\begin_inset Formula $n$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
indgange være en løsning til det homogene ligningssystem
|
||||
\begin_inset Formula $B\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
Da vil
|
||||
\begin_inset Formula
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\boldsymbol{v} & ={\rm I}_{n}\cdot\boldsymbol{v}\\
|
||||
& =(A\cdot B)\cdot\boldsymbol{v}\\
|
||||
& =A\cdot(B\cdot\boldsymbol{v})\\
|
||||
& =A\cdot\boldsymbol{0}\\
|
||||
& =\boldsymbol{0}.
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
Nu kan vi anvende Lemma 4.5 på
|
||||
\begin_inset Formula $B$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
og konkludere, at der eksisterer endnu en kvadratisk matrix af samme størrelse
|
||||
|
||||
\begin_inset Formula $C$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
, så
|
||||
\begin_inset Formula $B\cdot C={\rm I}_{n}$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
Det ønskes nu at vise at
|
||||
\begin_inset Formula $C=A$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
, hvilket giver at
|
||||
\begin_inset Formula $B$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
er en invers til
|
||||
\begin_inset Formula $A$
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
.
|
||||
Dette vises ved
|
||||
\begin_inset Formula
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A & =A\cdot{\rm I}_{n}\\
|
||||
& =A\cdot(B\cdot C)\\
|
||||
& =(A\cdot B)\cdot C\\
|
||||
& ={\rm I}_{n}\cdot C\\
|
||||
& =C.
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end_inset
|
||||
|
||||
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\begin_layout Standard
|
||||
Beviset er nu afsluttet.
|
||||
\end_layout
|
||||
|
||||
\end_body
|
||||
\end_document
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in New Issue
Block a user