beviser til første emne done

beviser.lyx

@@ -6,15 +6,20 @@
 \origin unavailable
 \textclass article
 \use_default_options true
+\begin_modules
+algorithm2e
+theorems-ams
+theorems-ams-extended
+\end_modules
 \maintain_unincluded_children false
-\language english
+\language danish
 \language_package default
 \inputencoding auto
 \fontencoding global
-\font_roman "default" "default"
+\font_roman "palatino" "default"
-\font_sans "default" "default"
+\font_sans "biolinum" "default"
 \font_typewriter "default" "default"
-\font_math "auto" "auto"
+\font_math "eulervm" "auto"
 \font_default_family default
 \use_non_tex_fonts false
 \font_sc false
@@ -27,6 +32,7 @@
 \bibtex_command default
 \index_command default
 \paperfontsize default
+\spacing single
 \use_hyperref false
 \papersize default
 \use_geometry false
@@ -55,9 +61,9 @@
 \end_index
 \secnumdepth 3
 \tocdepth 3
-\paragraph_separation indent
+\paragraph_separation skip
-\paragraph_indentation default
+\defskip medskip
-\quotes_language english
+\quotes_language danish
 \papercolumns 1
 \papersides 1
 \paperpagestyle default
@@ -70,8 +76,414 @@
 
 \begin_body
 
-\begin_layout Standard
+\begin_layout Section
+Løsninger og mindste kvadraters løsninger til lineære ligningssystemer
+\end_layout
 
+\begin_layout Subsection
+Lemma 1.5
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Et lineært ligningssystem 
+\begin_inset Formula $L^{\prime}$
+\end_inset
+
+ fremkommer fra et andet ligningssystem 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ ved brug af ERO, er de to ligningssystemer ækvivalente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Beviset for dette er for én elementær rækkeoperation.
+ Dette er tilstrækkeligt da beviset kan anvendes gentagne gange ved udførslen
+ af flere ERO'er.
+\end_layout
+
+\begin_layout Paragraph
+Bevis
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Det bemærkes at en løsning til 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ også vil være en løsning til
+\begin_inset Formula 
+\[
+\alpha\cdot l_{i}
+\]
+
+\end_inset
+
+og
+\begin_inset Formula 
+\[
+l_{i}+\alpha\cdot l_{j}.
+\]
+
+\end_inset
+
+ Løsningsmængden for 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ vil være en delmængde af løsningsmængden for 
+\begin_inset Formula $L^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ Et symmetrisk argument gælder for 
+\begin_inset Formula $L^{\prime}$
+\end_inset
+
+ til 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+.
+ Derfor må løsningsmængderne være ens.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Proposition 1.14
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Et homogent lineært ligningssystem med flere ubekendte end ligninger (dvs.
+ på matrixform: flere søjler end rækker) har en løsning forskellig fra 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Paragraph
+Bevis
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Hvis der anvendes Gauss-elimination kan det antages at de homogene lineære
+ ligningssystem er 
+\emph on
+reduceret
+\emph default
+.
+ Da antallet af 
+\emph on
+ledende ubekendte
+\emph default
+ er mindre end eller lig antallet af ligninger 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+, vil der være mindst 
+\begin_inset Formula $n-m$
+\end_inset
+
+ frie ubekendte.
+ Da det er antaget at 
+\begin_inset Formula $m<n$
+\end_inset
+
+ vil antallet af frie ubekendte være mindst én.
+ Proposition 1.9 fortæller at der eksisterer løsninger til ligningssystemer,
+ der antager arbitrære værdier for de frie ubekendte.
+ Således eksisterer der helt sikkert en løsning forskellig fra 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Proposition 3.11
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Det antages at en vektor 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}_{0}\in\mathbb{F}^{n}$
+\end_inset
+
+ er en løsning til det lineære ligningssystem 
+\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
+\end_inset
+
+ og at 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}\in\mathbb{F}^{n}$
+\end_inset
+
+ er en løsning til det tilsvarende homogene ligningssystem 
+\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
+\end_inset
+
+.
+ Løsningsmængden til ligningssystemet vil da bestå af alle elementer på
+ formen
+\begin_inset Formula 
+\[
+\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}\in\mathbb{F}^{n},
+\]
+
+\end_inset
+
+for 
+\begin_inset Formula $A\in{\rm Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$
+\end_inset
+
+ og 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\in\mathbb{F}^{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Paragraph
+Bevis
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Beviset deles op i to tilfælde:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}\in\mathbb{F}^{n}$
+\end_inset
+
+ er en løsning til det lineære ligningssystem
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Enhver løsning 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}$
+\end_inset
+
+ vil kunne opskrives på formen 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+(1) Det ses at
+\begin_inset Formula 
+\begin{align*}
+A\cdot(\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}) & =A\cdot\boldsymbol{z}+A\cdot\boldsymbol{z_{0}}\\
+ & =\boldsymbol{0}+\boldsymbol{b}\\
+ & =\boldsymbol{b}
+\end{align*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+(2) En løsning 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}$
+\end_inset
+
+ til 
+\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
+\end_inset
+
+ opfylder
+\begin_inset Formula 
+\begin{align*}
+A\cdot(\boldsymbol{z}^{\prime}-\boldsymbol{z}_{0}) & =A\cdot\boldsymbol{z}^{\prime}-A\cdot\boldsymbol{z_{0}}\\
+ & =\boldsymbol{b}-\boldsymbol{b}\\
+ & =\boldsymbol{0}
+\end{align*}
+
+\end_inset
+
+Derfor må 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}-\boldsymbol{z}_{0}$
+\end_inset
+
+ være en løsning til det homogene lineære ligningssystem 
+\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
+\end_inset
+
+.
+ Det vil sige at 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}-\boldsymbol{z}_{0}=\boldsymbol{z}$
+\end_inset
+
+, og 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}$
+\end_inset
+
+ har den ønskede form.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Proposition 10.33
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Ethvert lineært ligningssystem har 
+\emph on
+mindst én
+\emph default
+ 
+\emph on
+mindste kvadraters løsning
+\emph default
+.
+ Mindste kvadraters løsninger til 
+\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
+\end_inset
+
+ bestemmes som løsningsmængden til det lineære ligningssystem
+\begin_inset Formula 
+\[
+A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}
+\]
+
+\end_inset
+
+hvor 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
+\end_inset
+
+ betegner den ortogonale projektion af 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}$
+\end_inset
+
+ på søjlerummet 
+\begin_inset Formula $R(A)$
+\end_inset
+
+, det vil sige at 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}\in R(A)$
+\end_inset
+
+, mens 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\not\in R(A)$
+\end_inset
+
+.
+ Ligningssystemet har altså 
+\emph on
+ikke
+\emph default
+ en 
+\begin_inset Quotes ald
+\end_inset
+
+ordinær
+\begin_inset Quotes ard
+\end_inset
+
+ løsning.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Hjælpesætning - Proposition 10.32
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+ er et underrum af et indre produkt rum 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}\in V$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}=W$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{h}=W^{\perp}$
+\end_inset
+
+.
+ Det gælder da at
+\begin_inset Formula 
+\[
+\boldsymbol{v}=\boldsymbol{p}+\boldsymbol{h}
+\]
+
+\end_inset
+
+og
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left\Vert \boldsymbol{v}-\boldsymbol{p}\right\Vert <\left\Vert \boldsymbol{v}-\boldsymbol{w}\right\Vert 
+\]
+
+\end_inset
+
+for alle 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}\in W\setminus\{\boldsymbol{p}\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Paragraph
+Bevis
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
+\end_inset
+
+ er pr.
+ definition indeholdt i 
+\begin_inset Formula $R(A)$
+\end_inset
+
+.
+ Det gælder jf.
+ Proposition 10.32 for alle andre 
+\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}\in R(A)$
+\end_inset
+
+ at 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left\Vert \boldsymbol{b}-A\cdot\boldsymbol{z}\right\Vert \geq\left\Vert \boldsymbol{b}-\boldsymbol{p}\right\Vert 
+\]
+
+\end_inset
+
+med lighedstegn netop når 
+\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}=\boldsymbol{p}$
+\end_inset
+
+.
+ Dette viser at mindste kvadraters løsninger til 
+\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
+\end_inset
+
+ bestemmes som løsningerne til 
+\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Noter
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Proposition 10.36 er også nævnt i dispositionerne.
+ Der er dog nok ikke tid til også at gennemgå denne til eksamen.
+ Studerende til eksamen: Hvor meget tid har de? Har de tid? Lad os finde
+ ud af det! Skal den med? IDK!
 \end_layout
 
 \end_body