2254 lines
38 KiB
Plaintext
2254 lines
38 KiB
Plaintext
#LyX 2.2 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
|
||
\lyxformat 508
|
||
\begin_document
|
||
\begin_header
|
||
\save_transient_properties true
|
||
\origin unavailable
|
||
\textclass article
|
||
\use_default_options true
|
||
\begin_modules
|
||
algorithm2e
|
||
theorems-ams
|
||
theorems-ams-extended
|
||
\end_modules
|
||
\maintain_unincluded_children false
|
||
\language danish
|
||
\language_package default
|
||
\inputencoding auto
|
||
\fontencoding global
|
||
\font_roman "palatino" "default"
|
||
\font_sans "biolinum" "default"
|
||
\font_typewriter "default" "default"
|
||
\font_math "eulervm" "auto"
|
||
\font_default_family default
|
||
\use_non_tex_fonts false
|
||
\font_sc false
|
||
\font_osf false
|
||
\font_sf_scale 100 100
|
||
\font_tt_scale 100 100
|
||
\graphics default
|
||
\default_output_format default
|
||
\output_sync 0
|
||
\bibtex_command default
|
||
\index_command default
|
||
\paperfontsize default
|
||
\spacing single
|
||
\use_hyperref false
|
||
\papersize default
|
||
\use_geometry false
|
||
\use_package amsmath 1
|
||
\use_package amssymb 1
|
||
\use_package cancel 1
|
||
\use_package esint 1
|
||
\use_package mathdots 1
|
||
\use_package mathtools 1
|
||
\use_package mhchem 1
|
||
\use_package stackrel 1
|
||
\use_package stmaryrd 1
|
||
\use_package undertilde 1
|
||
\cite_engine basic
|
||
\cite_engine_type default
|
||
\biblio_style plain
|
||
\use_bibtopic false
|
||
\use_indices false
|
||
\paperorientation portrait
|
||
\suppress_date false
|
||
\justification true
|
||
\use_refstyle 1
|
||
\index Index
|
||
\shortcut idx
|
||
\color #008000
|
||
\end_index
|
||
\secnumdepth 3
|
||
\tocdepth 3
|
||
\paragraph_separation skip
|
||
\defskip medskip
|
||
\quotes_language danish
|
||
\papercolumns 1
|
||
\papersides 1
|
||
\paperpagestyle default
|
||
\tracking_changes false
|
||
\output_changes false
|
||
\html_math_output 0
|
||
\html_css_as_file 0
|
||
\html_be_strict false
|
||
\end_header
|
||
|
||
\begin_body
|
||
|
||
\begin_layout Section
|
||
Løsninger og mindste kvadraters løsninger til lineære ligningssystemer
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsection
|
||
Lemma 1.5 (Hovedsætning)
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Et lineært ligningssystem
|
||
\begin_inset Formula $L^{\prime}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
fremkommer fra et andet ligningssystem
|
||
\begin_inset Formula $L$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
ved brug af ERO, er de to ligningssystemer ækvivalente.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Beviset for dette er for én elementær rækkeoperation.
|
||
Dette er tilstrækkeligt da beviset kan anvendes gentagne gange ved udførslen
|
||
af flere ERO'er.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Paragraph
|
||
Bevis
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Det bemærkes at en løsning til
|
||
\begin_inset Formula $L$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
også vil være en løsning til
|
||
\begin_inset Formula
|
||
\[
|
||
\alpha\cdot l_{i}
|
||
\]
|
||
|
||
\end_inset
|
||
|
||
og
|
||
\begin_inset Formula
|
||
\[
|
||
l_{i}+\alpha\cdot l_{j}.
|
||
\]
|
||
|
||
\end_inset
|
||
|
||
Løsningsmængden for
|
||
\begin_inset Formula $L$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
vil være en delmængde af løsningsmængden for
|
||
\begin_inset Formula $L^{\prime}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Et symmetrisk argument gælder for
|
||
\begin_inset Formula $L^{\prime}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
til
|
||
\begin_inset Formula $L$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Derfor må løsningsmængderne være ens.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsection
|
||
Proposition 1.14 –
|
||
\begin_inset Quotes ald
|
||
\end_inset
|
||
|
||
Et vigtigt resultat
|
||
\begin_inset Quotes ard
|
||
\end_inset
|
||
|
||
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Et homogent lineært ligningssystem med flere ubekendte end ligninger (dvs.
|
||
på matrixform: flere søjler end rækker) har en løsning forskellig fra
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Paragraph
|
||
Bevis
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Hvis der anvendes Gauss-elimination kan det antages at de homogene lineære
|
||
ligningssystem er
|
||
\emph on
|
||
reduceret
|
||
\emph default
|
||
.
|
||
Da antallet af
|
||
\emph on
|
||
ledende ubekendte
|
||
\emph default
|
||
er mindre end eller lig antallet af ligninger
|
||
\begin_inset Formula $m$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, vil der være mindst
|
||
\begin_inset Formula $n-m$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
frie ubekendte.
|
||
Da det er antaget at
|
||
\begin_inset Formula $m<n$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
vil antallet af frie ubekendte være mindst én.
|
||
Proposition 1.9 fortæller at der eksisterer løsninger til ligningssystemer,
|
||
der antager arbitrære værdier for de frie ubekendte.
|
||
Således eksisterer der helt sikkert en løsning forskellig fra
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsection
|
||
Proposition 3.11 (Hovedsætning for
|
||
\emph on
|
||
løsninger til lineære ligningssystemer
|
||
\emph default
|
||
)
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Det antages at en vektor
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}_{0}\in\mathbb{F}^{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er en løsning til det lineære ligningssystem
|
||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
og at
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}\in\mathbb{F}^{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er en løsning til det tilsvarende homogene ligningssystem
|
||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Løsningsmængden til ligningssystemet vil da bestå af alle elementer på
|
||
formen
|
||
\begin_inset Formula
|
||
\[
|
||
\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}\in\mathbb{F}^{n},
|
||
\]
|
||
|
||
\end_inset
|
||
|
||
for
|
||
\begin_inset Formula $A\in{\rm Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
og
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\in\mathbb{F}^{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Paragraph
|
||
Bevis
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Beviset deles op i to tilfælde:
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Enumerate
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}\in\mathbb{F}^{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er en løsning til det lineære ligningssystem
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Enumerate
|
||
Enhver løsning
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
vil kunne opskrives på formen
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
(1) Det ses at
|
||
\begin_inset Formula
|
||
\begin{align*}
|
||
A\cdot(\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}) & =A\cdot\boldsymbol{z}+A\cdot\boldsymbol{z_{0}}\\
|
||
& =\boldsymbol{0}+\boldsymbol{b}\\
|
||
& =\boldsymbol{b}
|
||
\end{align*}
|
||
|
||
\end_inset
|
||
|
||
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
(2) En løsning
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
til
|
||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
opfylder
|
||
\begin_inset Formula
|
||
\begin{align*}
|
||
A\cdot(\boldsymbol{z}^{\prime}-\boldsymbol{z}_{0}) & =A\cdot\boldsymbol{z}^{\prime}-A\cdot\boldsymbol{z_{0}}\\
|
||
& =\boldsymbol{b}-\boldsymbol{b}\\
|
||
& =\boldsymbol{0}
|
||
\end{align*}
|
||
|
||
\end_inset
|
||
|
||
Derfor må
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}-\boldsymbol{z}_{0}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
være en løsning til det homogene lineære ligningssystem
|
||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Det vil sige at
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}-\boldsymbol{z}_{0}=\boldsymbol{z}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, og
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
har den ønskede form.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsection
|
||
Proposition 10.33 (Hovedsætning for
|
||
\emph on
|
||
mindste kvadraters løsninger
|
||
\emph default
|
||
)
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Ethvert lineært ligningssystem har
|
||
\emph on
|
||
mindst én
|
||
\emph default
|
||
|
||
\emph on
|
||
mindste kvadraters løsning
|
||
\emph default
|
||
.
|
||
Mindste kvadraters løsninger til
|
||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
bestemmes som løsningsmængden til det lineære ligningssystem
|
||
\begin_inset Formula
|
||
\[
|
||
A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}
|
||
\]
|
||
|
||
\end_inset
|
||
|
||
hvor
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
betegner den ortogonale projektion af
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
på søjlerummet
|
||
\begin_inset Formula $R(A)$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, det vil sige at
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}\in R(A)$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, mens
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\not\in R(A)$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Ligningssystemet har altså
|
||
\emph on
|
||
ikke
|
||
\emph default
|
||
en
|
||
\begin_inset Quotes ald
|
||
\end_inset
|
||
|
||
ordinær
|
||
\begin_inset Quotes ard
|
||
\end_inset
|
||
|
||
løsning.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Paragraph
|
||
Bevis
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er pr.
|
||
definition indeholdt i
|
||
\begin_inset Formula $R(A)$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Det gælder jf.
|
||
Proposition 10.32 for alle andre
|
||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}\in R(A)$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
at
|
||
\begin_inset Formula
|
||
\[
|
||
\left\Vert \boldsymbol{b}-A\cdot\boldsymbol{z}\right\Vert \geq\left\Vert \boldsymbol{b}-\boldsymbol{p}\right\Vert
|
||
\]
|
||
|
||
\end_inset
|
||
|
||
med lighedstegn netop når
|
||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}=\boldsymbol{p}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Dette viser at mindste kvadraters løsninger til
|
||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
bestemmes som løsningerne til
|
||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsubsection
|
||
Hjælpesætning - Proposition 10.32
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
\begin_inset Formula $W$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er et underrum af et indre produkt rum
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}\in V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
,
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}=W$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
,
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{h}=W^{\perp}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Det gælder da at
|
||
\begin_inset Formula
|
||
\[
|
||
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{p}+\boldsymbol{h}
|
||
\]
|
||
|
||
\end_inset
|
||
|
||
og
|
||
\begin_inset Formula
|
||
\[
|
||
\left\Vert \boldsymbol{v}-\boldsymbol{p}\right\Vert <\left\Vert \boldsymbol{v}-\boldsymbol{w}\right\Vert
|
||
\]
|
||
|
||
\end_inset
|
||
|
||
for alle
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}\in W\setminus\{\boldsymbol{p}\}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsection
|
||
Noter
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Proposition 10.36 er også nævnt i dispositionerne.
|
||
Der er dog nok ikke tid til også at gennemgå denne til eksamen.
|
||
Studerende til eksamen: Hvor meget tid har de? Har de tid? Lad os finde
|
||
ud af det! Skal den med? IDK!
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
\begin_inset Newpage newpage
|
||
\end_inset
|
||
|
||
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Section
|
||
Invertible matricer
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsection
|
||
Lemma 4.3 (Målsætning uden bevis)
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Antag at
|
||
\begin_inset Formula $A\in{\rm Mat}_{n}(\mathbb{F})$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er en invertibel matrix og
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\in\mathbb{F}^{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Da vil ligningssystemet
|
||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
have præcis én løsning.
|
||
Denne vil være lig
|
||
\begin_inset Formula $A^{-1}\cdot\boldsymbol{b}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsection
|
||
Lemma 4.4 (Hovedsætning)
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Antag
|
||
\begin_inset Formula $A\in{\rm Mat}_{n}(\mathbb{F})$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
(OBS!
|
||
\begin_inset Formula $A$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er kvadratisk!) og lad
|
||
\begin_inset Formula $H$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
bestemme en matrix på
|
||
\begin_inset Formula $RREF$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, der er rækkeækvivalent med
|
||
\begin_inset Formula $A$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Følgende udsagn er da ækvivalente
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Enumerate
|
||
For enhver vektor
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\in\mathbb{F}^{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
vil det lineære ligningssystem
|
||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
udelukkende have præcis én løsning.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Enumerate
|
||
Det homogene lineære liningssystem
|
||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
har kun nulvektoren
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
som løsning.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Enumerate
|
||
Det homogene (fuldstændigt) reducerede ligningssystem
|
||
\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
har
|
||
\emph on
|
||
ingen frie ubekendte.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Enumerate
|
||
Matricen
|
||
\begin_inset Formula $H$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er lig identitetsmatricen
|
||
\begin_inset Formula ${\rm I}_{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Paragraph
|
||
Bevis
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
\begin_inset Formula $(1)\Rightarrow(2)$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
: Oplagt, da nulvektoren
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er en løsning til ethvert homogent ligningssystem.
|
||
(1) giver da at dette må være den éneste løsning.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
\begin_inset Formula $(2)\Rightarrow(3)$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
: Da de to ligningssystemer
|
||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
og
|
||
\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er ækvivalente har de samme løsningsmængde.
|
||
Hvis
|
||
\begin_inset Formula $(2)$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er opfyldt har
|
||
\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
præcis én løsning, hvilket giver at der ikke er frie variable i ligningssysteme
|
||
t.
|
||
Dette opfylder jf.
|
||
Proposition 1.9 (ingen frie variable ved antal pivoter svarende til antal
|
||
ligninger (RREF i matrix-speak)) (3) ud fra (2).
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
\begin_inset Formula $(3)\Rightarrow(4)$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
: Da
|
||
\begin_inset Formula $H$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er på RREF, så må der eksistere en følge af naturlige tal
|
||
\begin_inset Formula
|
||
\[
|
||
1\leq d_{1}<d_{2}<\cdots<d_{r}\leq n,
|
||
\]
|
||
|
||
\end_inset
|
||
|
||
hvor
|
||
\begin_inset Formula $r$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er antallet af pivoter, såleds at de krævede egenskaber for RREF er opfyldt.
|
||
Den
|
||
\begin_inset Formula $(i,j)$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
'te indgang i
|
||
\begin_inset Formula $H$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
betegns med
|
||
\begin_inset Formula $h_{i,j}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Da har vi specielt, at
|
||
\begin_inset Formula
|
||
\[
|
||
h_{i,d_{j}=}\begin{cases}
|
||
1 & {\rm hvis}\quad i=j,j\leq r\\
|
||
0 & {\rm hvis}\quad i\neq j,j\leq r
|
||
\end{cases}.
|
||
\]
|
||
|
||
\end_inset
|
||
|
||
(
|
||
\emph on
|
||
Nævn eventuelt Kroeneckers delta i relation til dette)
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Det er givet at
|
||
\begin_inset Formula $x_{d_{1}},x_{d_{2}},\dots,x_{d_{r}}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er de ledende ubekendte for det lineære ligningssystem
|
||
\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Da der ikke er frie ubekendte for
|
||
\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
jf.
|
||
(3), så må
|
||
\begin_inset Formula $r=n$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
og
|
||
\begin_inset Formula $d_{i}=i$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
for
|
||
\begin_inset Formula $i=1,2,\dots,n$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Dermed giver ovenstående at
|
||
\begin_inset Formula $H$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er identitetsmatricen
|
||
\begin_inset Formula ${\rm I}_{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
\begin_inset Formula $(4)\Rightarrow(1)$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
: Hvis (4) er opfyldt vil totalmatricen
|
||
\begin_inset Formula $(A\mid\boldsymbol{b})$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
(dvs.
|
||
for systemet
|
||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
) være rækkeækvivalent med
|
||
\begin_inset Formula $({\rm I}_{n}\mid\boldsymbol{c})$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
for en passende vektor
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{c}\in\mathbb{F}^{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Særligt vil løsningsmængderne for
|
||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
og
|
||
\begin_inset Formula $I_{n}\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{c}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
være identiske.
|
||
|
||
\begin_inset Formula ${\rm I}_{n}\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{c}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
har imidlertid kun løsningen
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{c}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, hvilket opfylder (1) (præcis én løsning).
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsection
|
||
Lemma 4.5 (Leder op til 4.6, perspektiv uden bevis)
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
For en kvadratisk matrix
|
||
\begin_inset Formula $A$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, der opfylder et af de fire udsagn i Lemma 4.4, vil der eksistere en kvadratisk
|
||
matrix
|
||
\begin_inset Formula $B$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
af samme størrelse som
|
||
\begin_inset Formula $A$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, således at
|
||
\begin_inset Formula $A\cdot B={\rm I}_{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsection
|
||
Lemma 4.6 (Vigtig konklusion)
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
En kvadratisk matrix
|
||
\begin_inset Formula $A$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er invertibel hvis og kun hvis
|
||
\begin_inset Formula $A$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
opfylder de ækvivalente udsagn i Lemma 4.4.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Paragraph
|
||
Bevis
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Først vises at en invertibel matrix opfylder udsagnene i Lemma 4.4: Lemma
|
||
4.3 giver at en invertibel matrix vil opfylde udsagn (1) i Lemma 4.4.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Det ønskes nu at vise at en matrix, der opfylder udsagnene i Lemma 4.4 er
|
||
invertibel: Det antages, at
|
||
\begin_inset Formula $A$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
opfylder udsagnene i Lemma 4.4.
|
||
Ifølge Lemma 4.5 eksisterer der dermed en kvadratisk matrix af samme størrelse
|
||
|
||
\begin_inset Formula $B$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, så
|
||
\begin_inset Formula $A\cdot B={\rm I}_{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Det påstås at
|
||
\begin_inset Formula $B$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
opfylder udsagn
|
||
\begin_inset Formula $(2)$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
i Lemma
|
||
\begin_inset Formula $4.4$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Lad en vektor
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
med
|
||
\begin_inset Formula $n$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
indgange være en løsning til det homogene ligningssystem
|
||
\begin_inset Formula $B\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Da vil
|
||
\begin_inset Formula
|
||
\begin{align*}
|
||
\boldsymbol{v} & ={\rm I}_{n}\cdot\boldsymbol{v}\\
|
||
& =(A\cdot B)\cdot\boldsymbol{v}\\
|
||
& =A\cdot(B\cdot\boldsymbol{v})\\
|
||
& =A\cdot\boldsymbol{0}\\
|
||
& =\boldsymbol{0}.
|
||
\end{align*}
|
||
|
||
\end_inset
|
||
|
||
Nu kan vi anvende Lemma 4.5 på
|
||
\begin_inset Formula $B$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
og konkludere, at der eksisterer endnu en kvadratisk matrix af samme størrelse
|
||
|
||
\begin_inset Formula $C$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, så
|
||
\begin_inset Formula $B\cdot C={\rm I}_{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Det ønskes nu at vise at
|
||
\begin_inset Formula $C=A$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, hvilket giver at
|
||
\begin_inset Formula $B$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er en invers til
|
||
\begin_inset Formula $A$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Dette vises ved
|
||
\begin_inset Formula
|
||
\begin{align*}
|
||
A & =A\cdot{\rm I}_{n}\\
|
||
& =A\cdot(B\cdot C)\\
|
||
& =(A\cdot B)\cdot C\\
|
||
& ={\rm I}_{n}\cdot C\\
|
||
& =C.
|
||
\end{align*}
|
||
|
||
\end_inset
|
||
|
||
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Beviset er nu afsluttet.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
\begin_inset Newpage newpage
|
||
\end_inset
|
||
|
||
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Section
|
||
Vektorrum, underrum og dimension
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsection
|
||
Definition 5.1 (Vektorrum)
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
En mængde
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
samt to afbildninger
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{A}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
og
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{S}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, der opfylder identiteterne
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Enumerate
|
||
Den
|
||
\emph on
|
||
kommutative
|
||
\emph default
|
||
lov
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Enumerate
|
||
Den
|
||
\emph on
|
||
associative
|
||
\emph default
|
||
lov
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Enumerate
|
||
Eksistens af
|
||
\emph on
|
||
neutralelement
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Enumerate
|
||
Eksistens af
|
||
\emph on
|
||
inverse
|
||
\emph default
|
||
elementer
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Enumerate
|
||
Distributiv lov 1
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Enumerate
|
||
Distributiv lov 2
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Enumerate
|
||
Associativitet for skalarmultiplikation (
|
||
\begin_inset Formula $\alpha\cdot(\beta\cdot\boldsymbol{u})=(\alpha\beta)\cdot\boldsymbol{u}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
)
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsection
|
||
Definition 5.7 (Underrum)
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Et underrum af et vektorrum
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er
|
||
\emph on
|
||
en delmængde
|
||
\emph default
|
||
|
||
\begin_inset Formula $S$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
af vektorrummet
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, der opfylder følgende betingelser:
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Enumerate
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}\in S$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Enumerate
|
||
\begin_inset Formula $\forall\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in S:\quad\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\in S$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Enumerate
|
||
\begin_inset Formula $\forall\boldsymbol{u}\in S,\:\alpha\in\mathbb{F}:\quad\alpha\cdot\boldsymbol{u}\in S$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Punkt 2 og 3 kaldes
|
||
\emph on
|
||
stabilitet overfor addition
|
||
\emph default
|
||
hhv.
|
||
|
||
\emph on
|
||
multiplikation
|
||
\emph default
|
||
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsection
|
||
Definition 5.9 (Linearkombination)
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
En vektor
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
i vektorrummet
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
kaldes en
|
||
\emph on
|
||
linearkombination
|
||
\emph default
|
||
af
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, hvis der eksisterer skalarer
|
||
\begin_inset Formula $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{F}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, så
|
||
\begin_inset Formula
|
||
\[
|
||
\boldsymbol{v}=\alpha_{1}\cdot\boldsymbol{v}_{1}+\alpha_{2}\cdot\boldsymbol{v}_{2}+\cdots+\alpha_{n}\cdot\boldsymbol{v}_{n}
|
||
\]
|
||
|
||
\end_inset
|
||
|
||
og
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}\in V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Dette kan oplagt også noteres som
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v=\sum_{i=1}^{n}}\alpha_{i}\cdot\boldsymbol{v}_{i}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsection
|
||
Definition 5.11 (Span)
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Mængden af alle linearkombination af
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
kaldes for
|
||
\emph on
|
||
spannet
|
||
\emph default
|
||
af elementerne
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
og betegnes med
|
||
\begin_inset Formula
|
||
\[
|
||
{\rm Span}(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})
|
||
\]
|
||
|
||
\end_inset
|
||
|
||
Se også Lemma 5.12 for et interessant resultat.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsection
|
||
Definition 5.14 (Dimension)
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er et
|
||
\begin_inset Formula $\mathbb{F}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
-vektorrum.
|
||
Vi definerer da:
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Itemize
|
||
Hvis
|
||
\begin_inset Formula $V=\{\boldsymbol{0}\}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
har
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
dimension
|
||
\begin_inset Formula $0$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Itemize
|
||
Hvis
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er forskellig fra
|
||
\begin_inset Formula $\{\boldsymbol{0}\}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
og kan udspændes af
|
||
\begin_inset Formula $n$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
elementer, men ikke af færre end
|
||
\begin_inset Formula $n$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
elementer, så siger vi, at dimensionen af
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er lig
|
||
\begin_inset Formula $n$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Itemize
|
||
Hivs
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
ikke kan udspændes af en endelig mængde, så siges
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
at have uendelig dimension.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Dimensionen af
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
betegnes med
|
||
\begin_inset Formula $\dim(V)$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Uendelig dimension beskrives ved
|
||
\begin_inset Formula $\dim(V)=\infty$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsection
|
||
Formel 5.25 (Matrixprodukter og linearkombinationer)
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
\begin_inset Quotes ald
|
||
\end_inset
|
||
|
||
Ekstrem vigtig sammenhæng
|
||
\begin_inset Quotes ard
|
||
\end_inset
|
||
|
||
mellem linearkombinationer og matrixproduktet.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
\begin_inset Formula $A=(a_{ij})\in{\rm Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Da vil
|
||
\begin_inset Formula
|
||
\begin{align*}
|
||
A\cdot\begin{pmatrix}\alpha_{1}\\
|
||
\alpha_{2}\\
|
||
\vdots\\
|
||
\alpha_{n}
|
||
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}a_{11}\alpha_{1}+a_{12}\alpha_{2}+\cdots+a_{1n}\alpha_{n}\\
|
||
a_{21}\alpha_{1}+a_{22}\alpha_{2}+\cdots+a_{2n}\alpha_{n}\\
|
||
\vdots\\
|
||
a_{m1}\alpha_{1}+a_{m2}\alpha_{2}+\cdots+a_{mn}\alpha_{n}
|
||
\end{pmatrix}\\
|
||
& =\alpha_{1}\begin{pmatrix}a_{11}\\
|
||
a_{21}\\
|
||
\vdots\\
|
||
a_{m1}
|
||
\end{pmatrix}+\alpha_{2}\begin{pmatrix}a_{12}\\
|
||
a_{22}\\
|
||
\vdots\\
|
||
a_{m2}
|
||
\end{pmatrix}+\cdots+\alpha_{n}\begin{pmatrix}a_{1n}\\
|
||
a_{2n}\\
|
||
\vdots\\
|
||
a_{mn}
|
||
\end{pmatrix}\\
|
||
& =\alpha_{1}\cdot\boldsymbol{a}_{1}+\alpha_{2}\cdot\boldsymbol{a}_{2}+\cdots+\alpha_{n}\cdot\boldsymbol{a}_{n}
|
||
\end{align*}
|
||
|
||
\end_inset
|
||
|
||
Dette giver også at
|
||
\begin_inset Formula
|
||
\[
|
||
{\rm Span}(\boldsymbol{a_{1},a_{2},\dots,a_{n}})=\{A\cdot\boldsymbol{v}\mid\boldsymbol{v}\in\mathbb{F}^{n}\}.
|
||
\]
|
||
|
||
\end_inset
|
||
|
||
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsection
|
||
Proposition 5.17 (Vektorrum)
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Dimensionen af
|
||
\begin_inset Formula $\mathbb{F}^{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er
|
||
\begin_inset Formula $n$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Paragraph
|
||
Bevis
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Det er allerede bemærket at
|
||
\begin_inset Formula $\mathbb{F}^{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
kan udspændes af
|
||
\begin_inset Formula $n$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
elementer
|
||
\begin_inset Formula $(\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\dots,\boldsymbol{e}_{n})$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Det ønskes derfor kun vist at
|
||
\begin_inset Formula $\mathbb{F}^{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
ikke kan udspændes af
|
||
\emph on
|
||
færre end
|
||
\begin_inset Formula $n$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
elementer.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Det antages at
|
||
\begin_inset Formula $\mathbb{F}^{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
udspændes af
|
||
\begin_inset Formula $m$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
elementer
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{a_{1},a_{2},\dots,a_{m}}\in\mathbb{F}^{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, dvs.
|
||
\begin_inset Formula
|
||
\[
|
||
{\rm Span}(\boldsymbol{a_{1},a_{2},\dots,a_{m}})=\mathbb{F}^{n}
|
||
\]
|
||
|
||
\end_inset
|
||
|
||
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Lad nu
|
||
\begin_inset Formula $A\in{\rm Mat}_{n,m}(\mathbb{F})$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
beskrive matricen, hvis
|
||
\begin_inset Formula $i$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
'te søjle er givet ved
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{a}_{i}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Da vil ligningssystemet
|
||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
have en løsning for ethvert
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\in\mathbb{F}^{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, grundet Lemma 5.16 samholdt med ovenstående.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Vi lader nu
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{e}_{i}\in\mathbb{F}^{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
betegne den
|
||
\begin_inset Formula $i$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
'te søjle i
|
||
\begin_inset Formula $I_{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
og
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}_{i}\in\mathbb{F}^{m}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
for
|
||
\begin_inset Formula $i=[1,n]$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
være en løsning til ligningssystemet
|
||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{e}_{i}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Lad endvidere
|
||
\begin_inset Formula $B\in{\rm Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
betegne matricen hvis
|
||
\begin_inset Formula $i$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
'te søjle er
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}_{i}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
for
|
||
\begin_inset Formula $i=[1,n]$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Da gælder der at
|
||
\begin_inset Formula
|
||
\begin{align*}
|
||
A\cdot B & =\left(A\cdot\boldsymbol{b}_{1}\mid A\cdot\boldsymbol{b}_{2}\mid\cdots\mid A\cdot\boldsymbol{b}_{n}\right)\\
|
||
& =\left(\boldsymbol{e}_{1}\mid\boldsymbol{e}_{2}\mid\cdots\mid\boldsymbol{e}_{n}\right)\\
|
||
& =I_{n}.
|
||
\end{align*}
|
||
|
||
\end_inset
|
||
|
||
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Det homogene ligningssystem
|
||
\begin_inset Formula $B\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
har kun har nulvektoren som løsning, da
|
||
\begin_inset Formula $B$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er invertibel samholdt med Lemma 4.4 og 4.6.
|
||
Proposition 1.14 implicerer da at
|
||
\begin_inset Formula $m\geq n$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, hvilket fuldender beviset.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsubsection
|
||
Hjælpesætning - Lemma 5.16
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Et lineært ligningssystem
|
||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
har en løsning hvis og kun hvis
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\in R(A)$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Paragraph
|
||
Bevis
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Det at
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er i søjlerummet for
|
||
\begin_inset Formula $A$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
betyder at
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er på formen
|
||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{v}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
for et passende
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}\in\mathbb{F}^{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Dette er netop betingelsen for at
|
||
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
har en løsning.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsection
|
||
Lemma 5.12 (Hvis tid?)
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Mængden
|
||
\begin_inset Formula ${\rm Span}(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
udgør et underrum i
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
indeholdende alle elementerne
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Ethvert underrum af
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
indeholdende
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
vil indeholde
|
||
\begin_inset Formula ${\rm Span}(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
som delmængde.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Paragraph
|
||
Meget uformel begrundelse
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Dette er på grund af spannets og underrummets definition.
|
||
Underrum er stabile overfor netop addition og skalarmultiplikation, hvilket
|
||
er det linearkombinationer benytter sig af.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsection
|
||
Noter
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Skriv måske mere til Lemma 5.12
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
\begin_inset Newpage newpage
|
||
\end_inset
|
||
|
||
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Section
|
||
Basis for vektorrum
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsection
|
||
Definition 7.1 (
|
||
\emph on
|
||
Udspænde
|
||
\emph default
|
||
,
|
||
\emph on
|
||
lineær
|
||
\emph default
|
||
|
||
\emph on
|
||
uafhængighed
|
||
\emph default
|
||
og
|
||
\emph on
|
||
basis
|
||
\emph default
|
||
)
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
For en samling af elementer
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{V}=(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
i et
|
||
\begin_inset Formula $\mathbb{F}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
-vektorrum
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
defineres:
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Itemize
|
||
Udspænding af
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
:
|
||
\begin_inset Formula ${\rm Span}(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})=V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Itemize
|
||
Lineær uafhængighed:
|
||
\begin_inset Formula $\begin{pmatrix}\alpha_{1}\\
|
||
\alpha_{2}\\
|
||
\vdots\\
|
||
\alpha_{n}
|
||
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\vdots & \vdots & & \vdots\\
|
||
\boldsymbol{v}_{1} & \boldsymbol{v}_{2} & \cdots & \boldsymbol{v}_{n}\\
|
||
\vdots & \vdots & & \vdots
|
||
\end{pmatrix}=\boldsymbol{0}\iff\alpha_{i}=0\:{\rm for}\:i=1,2,\dots,n$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Itemize
|
||
Basis for
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
såfremt
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
udspænder
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
samt er lineært uafhængig.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsection
|
||
Lemma 7.2 (Relation af samlinger til afbildningsbegreber)
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
For en samling af elementer
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{V}=(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
i et
|
||
\begin_inset Formula $\mathbb{F}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
-vektorrum
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
gælder det at
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Enumerate
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
udspænder
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
hvis og kun hvis
|
||
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{V}}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er surjektiv
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Enumerate
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er lineært uafhængig hvis og kun hvis
|
||
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{V}}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er injektiv
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Enumerate
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er en basis for
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
hvis og kun hvis
|
||
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{V}}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er en isomorfi
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Dette giver endvidere at
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er en basis for
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
netop når ethvert element i
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
|
||
\emph on
|
||
på entydig vis
|
||
\emph default
|
||
er en linearkombination af vektorerne i
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Paragraph
|
||
Bevis
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
(1): Billedet af
|
||
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{V}}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er lig
|
||
\begin_inset Formula ${\rm Span}(\mathcal{V})$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
|
||
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{V}}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er surjektiv hvis og kun hvis
|
||
\begin_inset Formula ${\rm Span}(\mathcal{V})=V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
(2):
|
||
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{V}}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er injektiv hvis og kun hvis at kernen for
|
||
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{V}}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er lig
|
||
\begin_inset Formula $\{\boldsymbol{0}\}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
jf.
|
||
Sætning 6.14.
|
||
Vektoren
|
||
\begin_inset Formula $(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n})^{T}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er et element i kernen for
|
||
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{V}}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
hvis og kun hvis identiteten
|
||
\begin_inset Formula $\alpha_{1}\cdot\boldsymbol{v}_{1}+\alpha_{2}\cdot\boldsymbol{v}_{2}+\cdots+\alpha_{n}\cdot\boldsymbol{v}_{n}=0$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er opfyldt.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
For at
|
||
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{V}}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
kan være injektiv må identiteten kun være opfyldt hvis alle
|
||
\begin_inset Formula $\alpha_{i}=0$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, hvilket netop er definitionen på, at
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er lineært uafhængig.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
(3): Følger af (1) og (2), da isomorfi kræver samtidig surjektivitet og
|
||
injektivitet ligesom basis kræver samtidig udspænding (surjektivitet) og
|
||
lineær uafhængighed (injektivitet).
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsection
|
||
Sætning 7.12 (
|
||
\emph on
|
||
Udtynding
|
||
\emph default
|
||
og
|
||
\emph on
|
||
udvidelse
|
||
\emph default
|
||
)
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er et vektorrum af endelig dimension
|
||
\begin_inset Formula $n>0$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
og
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}=(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{m})$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er en samling af
|
||
\begin_inset Formula $m$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
elementer i vektorrummet
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Da er to ting mulige:
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Enumerate
|
||
Hvis
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
udspænder
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, så er
|
||
\begin_inset Formula $n\leq m$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
og
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
kan
|
||
\emph on
|
||
udtyndes
|
||
\emph default
|
||
til en basis for
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Det vil sige at nogle af vektorerne i
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
kan
|
||
\emph on
|
||
fjernes
|
||
\emph default
|
||
for at gøre
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
til en basis for
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Enumerate
|
||
Hvis
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er lineært uafhængig, så er
|
||
\begin_inset Formula $m\leq n$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
og
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
kan
|
||
\emph on
|
||
udvides
|
||
\emph default
|
||
til en basis for
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Det vil sige at der kan
|
||
\emph on
|
||
tilføjes
|
||
\emph default
|
||
vektorerne fra
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
til
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
for at gøre
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
til en basis for
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Paragraph
|
||
Bevis
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Beviset foregår i to dele.
|
||
Først vises udtynding og derefter udvidelse.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subparagraph
|
||
(1)
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Der argumenteres genmem induktion i
|
||
\begin_inset Formula $m>0$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Hvis
|
||
\begin_inset Formula $m=1$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, så vil
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}=(\boldsymbol{v}_{1})$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
pr.
|
||
antagelse udspænde
|
||
\begin_inset Formula $V,$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
og da
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
ikke er nulrummet (da
|
||
\begin_inset Formula $n>0$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
) vil
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
være lineært uafhængig (jf.
|
||
Eks 7.6(A)).
|
||
Derfor vil
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
i dette tilfælde være en basis for
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Proposition
|
||
\begin_inset Formula $7.8$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
giver at
|
||
\begin_inset Formula $n$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
derved er lig
|
||
\begin_inset Formula $1$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Derfor kan det anvendes at
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{V}=\mathcal{W}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Det antages nu at
|
||
\begin_inset Formula $m>1$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
og at udsagnet er vist i tilfældet
|
||
\begin_inset Formula $m-1$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Hvis
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er lineært
|
||
\emph on
|
||
uafhængig
|
||
\emph default
|
||
, så er
|
||
\begin_inset Formula $W$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
en basis og dermed er
|
||
\begin_inset Formula $n=m$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
ifølge Proposition
|
||
\begin_inset Formula $7.8$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Hvis
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er lineært
|
||
\emph on
|
||
afhængig
|
||
\emph default
|
||
, så eksisterer der jf.
|
||
Lemma 7.7(1) et
|
||
\begin_inset Formula $i$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
,
|
||
\begin_inset Formula $1\leq i\leq m$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, så kan en ny samling
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}^{\prime}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
skabes ud fra
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
ved fjernelse af vektoren
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{i}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
ift.
|
||
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
således at
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}^{\prime}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
udspænder
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Pr.
|
||
induktion kan det nye
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}^{\prime}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
udtyndes til en basis for
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, og denne basis vil også være en udtynding af
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subparagraph
|
||
(2)
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
At
|
||
\begin_inset Formula $m\leq n$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
følger af Lemma 7.10.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Der argumenteres ved induktion i tallet
|
||
\begin_inset Formula $n-m\geq0$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Hvis
|
||
\begin_inset Formula $n-m=0$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
, så er
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
en basis for
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
jf.
|
||
Proposition 7.11.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Det antages nu at
|
||
\begin_inset Formula $n-m>0$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
og at udsagnet er vist i tilfældet
|
||
\begin_inset Formula $(n-m)-1$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Da
|
||
\begin_inset Formula $m\neq n$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
er
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
ikke en basis for
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
jf.
|
||
Proposition
|
||
\begin_inset Formula $7.8$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
(størrelse af basis skal være lig dimension af rum).
|
||
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
kan da ikke udspænde
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Det må derfor være muligt at vælge et element
|
||
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}^{\prime}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
i
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
som ikke er indeholdet i
|
||
\begin_inset Formula ${\rm Span}(\mathcal{W})$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
Pr.
|
||
Lemma 7.7(2) vil
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}^{\prime}=\mathcal{W}+\boldsymbol{v}^{\prime}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
være lineært uafhængig.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Pr.
|
||
induktion så kan
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}^{\prime}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
nu udvides til en basis for
|
||
\begin_inset Formula $V$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
.
|
||
En sådan udvidelse vil samtidig være en udvidelse af det oprindelige
|
||
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
|
||
\end_inset
|
||
|
||
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Subsection
|
||
Noter
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\begin_layout Standard
|
||
Overvej at droppe Lemma 7.2 fra dispositionen.
|
||
\end_layout
|
||
|
||
\end_body
|
||
\end_document
|