#LyX 2.2 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 508
\begin_document
\begin_header
\save_transient_properties true
\origin unavailable
\textclass article
\use_default_options true
\begin_modules
algorithm2e
theorems-ams
theorems-ams-extended
\end_modules
\maintain_unincluded_children false
\language danish
\language_package default
\inputencoding auto
\fontencoding global
\font_roman "palatino" "default"
\font_sans "biolinum" "default"
\font_typewriter "default" "default"
\font_math "eulervm" "auto"
\font_default_family default
\use_non_tex_fonts false
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100 100
\font_tt_scale 100 100
\graphics default
\default_output_format default
\output_sync 0
\bibtex_command default
\index_command default
\paperfontsize default
\spacing single
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry false
\use_package amsmath 1
\use_package amssymb 1
\use_package cancel 1
\use_package esint 1
\use_package mathdots 1
\use_package mathtools 1
\use_package mhchem 1
\use_package stackrel 1
\use_package stmaryrd 1
\use_package undertilde 1
\cite_engine basic
\cite_engine_type default
\biblio_style plain
\use_bibtopic false
\use_indices false
\paperorientation portrait
\suppress_date false
\justification true
\use_refstyle 1
\index Index
\shortcut idx
\color #008000
\end_index
\secnumdepth 3
\tocdepth 3
\paragraph_separation skip
\defskip medskip
\quotes_language danish
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\html_math_output 0
\html_css_as_file 0
\html_be_strict false
\end_header

\begin_body

\begin_layout Section
Løsninger og mindste kvadraters løsninger til lineære ligningssystemer
\end_layout

\begin_layout Subsection
Lemma 1.5 (Hovedsætning)
\end_layout

\begin_layout Standard
Et lineært ligningssystem 
\begin_inset Formula $L^{\prime}$
\end_inset

 fremkommer fra et andet ligningssystem 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 ved brug af ERO, er de to ligningssystemer ækvivalente.
\end_layout

\begin_layout Standard
Beviset for dette er for én elementær rækkeoperation.
 Dette er tilstrækkeligt da beviset kan anvendes gentagne gange ved udførslen
 af flere ERO'er.
\end_layout

\begin_layout Paragraph
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
Det bemærkes at en løsning til 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 også vil være en løsning til
\begin_inset Formula 
\[
\alpha\cdot l_{i}
\]

\end_inset

og
\begin_inset Formula 
\[
l_{i}+\alpha\cdot l_{j}.
\]

\end_inset

 Løsningsmængden for 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 vil være en delmængde af løsningsmængden for 
\begin_inset Formula $L^{\prime}$
\end_inset

.
 Et symmetrisk argument gælder for 
\begin_inset Formula $L^{\prime}$
\end_inset

 til 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

.
 Derfor må løsningsmængderne være ens.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Proposition 1.14 – 
\begin_inset Quotes ald
\end_inset

Et vigtigt resultat
\begin_inset Quotes ard
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Et homogent lineært ligningssystem med flere ubekendte end ligninger (dvs.
 på matrixform: flere søjler end rækker) har en løsning forskellig fra 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Paragraph
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
Hvis der anvendes Gauss-elimination kan det antages at de homogene lineære
 ligningssystem er 
\emph on
reduceret
\emph default
.
 Da antallet af 
\emph on
ledende ubekendte
\emph default
 er mindre end eller lig antallet af ligninger 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

, vil der være mindst 
\begin_inset Formula $n-m$
\end_inset

 frie ubekendte.
 Da det er antaget at 
\begin_inset Formula $m<n$
\end_inset

 vil antallet af frie ubekendte være mindst én.
 Proposition 1.9 fortæller at der eksisterer løsninger til ligningssystemer,
 der antager arbitrære værdier for de frie ubekendte.
 Således eksisterer der helt sikkert en løsning forskellig fra 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Proposition 3.11 (Hovedsætning for 
\emph on
løsninger til lineære ligningssystemer
\emph default
)
\end_layout

\begin_layout Standard
Det antages at en vektor 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}_{0}\in\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

 er en løsning til det lineære ligningssystem 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
\end_inset

 og at 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}\in\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

 er en løsning til det tilsvarende homogene ligningssystem 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
\end_inset

.
 Løsningsmængden til ligningssystemet vil da bestå af alle elementer på
 formen
\begin_inset Formula 
\[
\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}\in\mathbb{F}^{n},
\]

\end_inset

for 
\begin_inset Formula $A\in{\rm Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\in\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Paragraph
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
Beviset deles op i to tilfælde:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}\in\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

 er en løsning til det lineære ligningssystem
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Enhver løsning 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}$
\end_inset

 vil kunne opskrives på formen 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
(1) Det ses at
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
A\cdot(\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z_{0}}) & =A\cdot\boldsymbol{z}+A\cdot\boldsymbol{z_{0}}\\
 & =\boldsymbol{0}+\boldsymbol{b}\\
 & =\boldsymbol{b}
\end{align*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
(2) En løsning 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}$
\end_inset

 til 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
\end_inset

 opfylder
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
A\cdot(\boldsymbol{z}^{\prime}-\boldsymbol{z}_{0}) & =A\cdot\boldsymbol{z}^{\prime}-A\cdot\boldsymbol{z_{0}}\\
 & =\boldsymbol{b}-\boldsymbol{b}\\
 & =\boldsymbol{0}
\end{align*}

\end_inset

Derfor må 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}-\boldsymbol{z}_{0}$
\end_inset

 være en løsning til det homogene lineære ligningssystem 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
\end_inset

.
 Det vil sige at 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}-\boldsymbol{z}_{0}=\boldsymbol{z}$
\end_inset

, og 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{z}^{\prime}$
\end_inset

 har den ønskede form.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Proposition 10.33 (Hovedsætning for 
\emph on
mindste kvadraters løsninger
\emph default
)
\end_layout

\begin_layout Standard
Ethvert lineært ligningssystem har 
\emph on
mindst én
\emph default
 
\emph on
mindste kvadraters løsning
\emph default
.
 Mindste kvadraters løsninger til 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
\end_inset

 bestemmes som løsningsmængden til det lineære ligningssystem
\begin_inset Formula 
\[
A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}
\]

\end_inset

hvor 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
\end_inset

 betegner den ortogonale projektion af 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}$
\end_inset

 på søjlerummet 
\begin_inset Formula $R(A)$
\end_inset

, det vil sige at 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}\in R(A)$
\end_inset

, mens 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\not\in R(A)$
\end_inset

.
 Ligningssystemet har altså 
\emph on
ikke
\emph default
 en 
\begin_inset Quotes ald
\end_inset

ordinær
\begin_inset Quotes ard
\end_inset

 løsning.
\end_layout

\begin_layout Paragraph
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
\end_inset

 er pr.
 definition indeholdt i 
\begin_inset Formula $R(A)$
\end_inset

.
 Det gælder jf.
 Proposition 10.32 for alle andre 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}\in R(A)$
\end_inset

 at 
\begin_inset Formula 
\[
\left\Vert \boldsymbol{b}-A\cdot\boldsymbol{z}\right\Vert \geq\left\Vert \boldsymbol{b}-\boldsymbol{p}\right\Vert 
\]

\end_inset

med lighedstegn netop når 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{z}=\boldsymbol{p}$
\end_inset

.
 Dette viser at mindste kvadraters løsninger til 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
\end_inset

 bestemmes som løsningerne til 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Hjælpesætning - Proposition 10.32
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 er et underrum af et indre produkt rum 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}\in V$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}=W$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{h}=W^{\perp}$
\end_inset

.
 Det gælder da at
\begin_inset Formula 
\[
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{p}+\boldsymbol{h}
\]

\end_inset

og
\begin_inset Formula 
\[
\left\Vert \boldsymbol{v}-\boldsymbol{p}\right\Vert <\left\Vert \boldsymbol{v}-\boldsymbol{w}\right\Vert 
\]

\end_inset

for alle 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}\in W\setminus\{\boldsymbol{p}\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Noter
\end_layout

\begin_layout Standard
Proposition 10.36 er også nævnt i dispositionerne.
 Der er dog nok ikke tid til også at gennemgå denne til eksamen.
 Studerende til eksamen: Hvor meget tid har de? Har de tid? Lad os finde
 ud af det! Skal den med? IDK!
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Invertible matricer
\end_layout

\begin_layout Subsection
Lemma 4.3 (Målsætning uden bevis)
\end_layout

\begin_layout Standard
Antag at 
\begin_inset Formula $A\in{\rm Mat}_{n}(\mathbb{F})$
\end_inset

 er en invertibel matrix og 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\in\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Da vil ligningssystemet 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
\end_inset

 have præcis én løsning.
 Denne vil være lig 
\begin_inset Formula $A^{-1}\cdot\boldsymbol{b}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Lemma 4.4 (Hovedsætning)
\end_layout

\begin_layout Standard
Antag 
\begin_inset Formula $A\in{\rm Mat}_{n}(\mathbb{F})$
\end_inset

 (OBS! 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 er kvadratisk!) og lad 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 bestemme en matrix på 
\begin_inset Formula $RREF$
\end_inset

, der er rækkeækvivalent med 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Følgende udsagn er da ækvivalente
\end_layout

\begin_layout Enumerate
For enhver vektor 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\in\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

 vil det lineære ligningssystem 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
\end_inset

 udelukkende have præcis én løsning.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Det homogene lineære liningssystem 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
\end_inset

 har kun nulvektoren 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
\end_inset

 som løsning.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Det homogene (fuldstændigt) reducerede ligningssystem 
\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
\end_inset

 har 
\emph on
ingen frie ubekendte.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Matricen 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 er lig identitetsmatricen 
\begin_inset Formula ${\rm I}_{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Paragraph
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $(1)\Rightarrow(2)$
\end_inset

: Oplagt, da nulvektoren 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
\end_inset

 er en løsning til ethvert homogent ligningssystem.
 (1) giver da at dette må være den éneste løsning.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $(2)\Rightarrow(3)$
\end_inset

: Da de to ligningssystemer 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
\end_inset

 er ækvivalente har de samme løsningsmængde.
 Hvis 
\begin_inset Formula $(2)$
\end_inset

 er opfyldt har 
\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
\end_inset

 præcis én løsning, hvilket giver at der ikke er frie variable i ligningssysteme
t.
 Dette opfylder jf.
 Proposition 1.9 (ingen frie variable ved antal pivoter svarende til antal
 ligninger (RREF i matrix-speak)) (3) ud fra (2).
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $(3)\Rightarrow(4)$
\end_inset

: Da 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 er på RREF, så må der eksistere en følge af naturlige tal
\begin_inset Formula 
\[
1\leq d_{1}<d_{2}<\cdots<d_{r}\leq n,
\]

\end_inset

hvor 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 er antallet af pivoter, såleds at de krævede egenskaber for RREF er opfyldt.
 Den 
\begin_inset Formula $(i,j)$
\end_inset

'te indgang i 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 betegns med 
\begin_inset Formula $h_{i,j}$
\end_inset

.
 Da har vi specielt, at
\begin_inset Formula 
\[
h_{i,d_{j}=}\begin{cases}
1 & {\rm hvis}\quad i=j,j\leq r\\
0 & {\rm hvis}\quad i\neq j,j\leq r
\end{cases}.
\]

\end_inset

(
\emph on
Nævn eventuelt Kroeneckers delta i relation til dette)
\end_layout

\begin_layout Standard
Det er givet at 
\begin_inset Formula $x_{d_{1}},x_{d_{2}},\dots,x_{d_{r}}$
\end_inset

 er de ledende ubekendte for det lineære ligningssystem 
\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
\end_inset

.
 Da der ikke er frie ubekendte for 
\begin_inset Formula $H\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
\end_inset

 jf.
 (3), så må 
\begin_inset Formula $r=n$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $d_{i}=i$
\end_inset

 for 
\begin_inset Formula $i=1,2,\dots,n$
\end_inset

.
 Dermed giver ovenstående at 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 er identitetsmatricen 
\begin_inset Formula ${\rm I}_{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $(4)\Rightarrow(1)$
\end_inset

: Hvis (4) er opfyldt vil totalmatricen 
\begin_inset Formula $(A\mid\boldsymbol{b})$
\end_inset

 (dvs.
 for systemet 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
\end_inset

) være rækkeækvivalent med 
\begin_inset Formula $({\rm I}_{n}\mid\boldsymbol{c})$
\end_inset

 for en passende vektor 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{c}\in\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

.
 Særligt vil løsningsmængderne for 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $I_{n}\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{c}$
\end_inset

 være identiske.
 
\begin_inset Formula ${\rm I}_{n}\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{c}$
\end_inset

 har imidlertid kun løsningen 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{c}$
\end_inset

, hvilket opfylder (1) (præcis én løsning).
\end_layout

\begin_layout Subsection
Lemma 4.5 (Leder op til 4.6, perspektiv uden bevis)
\end_layout

\begin_layout Standard
For en kvadratisk matrix 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, der opfylder et af de fire udsagn i Lemma 4.4, vil der eksistere en kvadratisk
 matrix 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 af samme størrelse som 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, således at 
\begin_inset Formula $A\cdot B={\rm I}_{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Lemma 4.6 (Vigtig konklusion)
\end_layout

\begin_layout Standard
En kvadratisk matrix 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 er invertibel hvis og kun hvis 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 opfylder de ækvivalente udsagn i Lemma 4.4.
\end_layout

\begin_layout Paragraph
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
Først vises at en invertibel matrix opfylder udsagnene i Lemma 4.4: Lemma
 4.3 giver at en invertibel matrix vil opfylde udsagn (1) i Lemma 4.4.
\end_layout

\begin_layout Standard
Det ønskes nu at vise at en matrix, der opfylder udsagnene i Lemma 4.4 er
 invertibel: Det antages, at 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 opfylder udsagnene i Lemma 4.4.
 Ifølge Lemma 4.5 eksisterer der dermed en kvadratisk matrix af samme størrelse
 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

, så 
\begin_inset Formula $A\cdot B={\rm I}_{n}$
\end_inset

.
 Det påstås at 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 opfylder udsagn 
\begin_inset Formula $(2)$
\end_inset

 i Lemma 
\begin_inset Formula $4.4$
\end_inset

.
 Lad en vektor 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
\end_inset

 med 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 indgange være en løsning til det homogene ligningssystem 
\begin_inset Formula $B\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
\end_inset

.
 Da vil
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\boldsymbol{v} & ={\rm I}_{n}\cdot\boldsymbol{v}\\
 & =(A\cdot B)\cdot\boldsymbol{v}\\
 & =A\cdot(B\cdot\boldsymbol{v})\\
 & =A\cdot\boldsymbol{0}\\
 & =\boldsymbol{0}.
\end{align*}

\end_inset

Nu kan vi anvende Lemma 4.5 på 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 og konkludere, at der eksisterer endnu en kvadratisk matrix af samme størrelse
 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

, så 
\begin_inset Formula $B\cdot C={\rm I}_{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Det ønskes nu at vise at 
\begin_inset Formula $C=A$
\end_inset

, hvilket giver at 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 er en invers til 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Dette vises ved
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
A & =A\cdot{\rm I}_{n}\\
 & =A\cdot(B\cdot C)\\
 & =(A\cdot B)\cdot C\\
 & ={\rm I}_{n}\cdot C\\
 & =C.
\end{align*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Beviset er nu afsluttet.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Vektorrum, underrum og dimension
\end_layout

\begin_layout Subsection
Definition 5.1 (Vektorrum)
\end_layout

\begin_layout Standard
En mængde 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

samt to afbildninger 
\begin_inset Formula $\mathcal{A}$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\mathcal{S}$
\end_inset

, der opfylder identiteterne
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Den 
\emph on
kommutative
\emph default
 lov
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Den 
\emph on
associative
\emph default
 lov
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Eksistens af 
\emph on
neutralelement
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Eksistens af 
\emph on
inverse
\emph default
 elementer
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Distributiv lov 1
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Distributiv lov 2
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Associativitet for skalarmultiplikation (
\begin_inset Formula $\alpha\cdot(\beta\cdot\boldsymbol{u})=(\alpha\beta)\cdot\boldsymbol{u}$
\end_inset

)
\end_layout

\begin_layout Subsection
Definition 5.7 (Underrum)
\end_layout

\begin_layout Standard
Et underrum af et vektorrum 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 er 
\emph on
en delmængde 
\emph default

\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 af vektorrummet 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, der opfylder følgende betingelser:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}\in S$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\forall\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in S:\quad\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\in S$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\forall\boldsymbol{u}\in S,\:\alpha\in\mathbb{F}:\quad\alpha\cdot\boldsymbol{u}\in S$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Punkt 2 og 3 kaldes 
\emph on
stabilitet overfor addition
\emph default
 hhv.
 
\emph on
multiplikation
\emph default
 
\end_layout

\begin_layout Subsection
Definition 5.9 (Linearkombination)
\end_layout

\begin_layout Standard
En vektor 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
\end_inset

 i vektorrummet 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 kaldes en 
\emph on
linearkombination
\emph default
 af 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n}$
\end_inset

, hvis der eksisterer skalarer 
\begin_inset Formula $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{F}$
\end_inset

, så
\begin_inset Formula 
\[
\boldsymbol{v}=\alpha_{1}\cdot\boldsymbol{v}_{1}+\alpha_{2}\cdot\boldsymbol{v}_{2}+\cdots+\alpha_{n}\cdot\boldsymbol{v}_{n}
\]

\end_inset

og 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}\in V$
\end_inset

.
 Dette kan oplagt også noteres som 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v=\sum_{i=1}^{n}}\alpha_{i}\cdot\boldsymbol{v}_{i}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Definition 5.11 (Span)
\end_layout

\begin_layout Standard
Mængden af alle linearkombination af 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n}$
\end_inset

 kaldes for 
\emph on
spannet
\emph default
 af elementerne 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n}$
\end_inset

 og betegnes med
\begin_inset Formula 
\[
{\rm Span}(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})
\]

\end_inset

Se også Lemma 5.12 for et interessant resultat.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Definition 5.14 (Dimension)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

er et 
\begin_inset Formula $\mathbb{F}$
\end_inset

-vektorrum.
 Vi definerer da:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Hvis 
\begin_inset Formula $V=\{\boldsymbol{0}\}$
\end_inset

 har 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 dimension 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Hvis 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 er forskellig fra 
\begin_inset Formula $\{\boldsymbol{0}\}$
\end_inset

 og kan udspændes af 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

elementer, men ikke af færre end 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 elementer, så siger vi, at dimensionen af 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

er lig 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Hivs 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 ikke kan udspændes af en endelig mængde, så siges 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

at have uendelig dimension.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dimensionen af 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

betegnes med 
\begin_inset Formula $\dim(V)$
\end_inset

.
 Uendelig dimension beskrives ved 
\begin_inset Formula $\dim(V)=\infty$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Formel 5.25 (Matrixprodukter og linearkombinationer)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Quotes ald
\end_inset

Ekstrem vigtig sammenhæng
\begin_inset Quotes ard
\end_inset

 mellem linearkombinationer og matrixproduktet.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $A=(a_{ij})\in{\rm Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$
\end_inset

.
 Da vil
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
A\cdot\begin{pmatrix}\alpha_{1}\\
\alpha_{2}\\
\vdots\\
\alpha_{n}
\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}a_{11}\alpha_{1}+a_{12}\alpha_{2}+\cdots+a_{1n}\alpha_{n}\\
a_{21}\alpha_{1}+a_{22}\alpha_{2}+\cdots+a_{2n}\alpha_{n}\\
\vdots\\
a_{m1}\alpha_{1}+a_{m2}\alpha_{2}+\cdots+a_{mn}\alpha_{n}
\end{pmatrix}\\
 & =\alpha_{1}\begin{pmatrix}a_{11}\\
a_{21}\\
\vdots\\
a_{m1}
\end{pmatrix}+\alpha_{2}\begin{pmatrix}a_{12}\\
a_{22}\\
\vdots\\
a_{m2}
\end{pmatrix}+\cdots+\alpha_{n}\begin{pmatrix}a_{1n}\\
a_{2n}\\
\vdots\\
a_{mn}
\end{pmatrix}\\
 & =\alpha_{1}\cdot\boldsymbol{a}_{1}+\alpha_{2}\cdot\boldsymbol{a}_{2}+\cdots+\alpha_{n}\cdot\boldsymbol{a}_{n}
\end{align*}

\end_inset

Dette giver også at
\begin_inset Formula 
\[
{\rm Span}(\boldsymbol{a_{1},a_{2},\dots,a_{n}})=\{A\cdot\boldsymbol{v}\mid\boldsymbol{v}\in\mathbb{F}^{n}\}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Proposition 5.17 (Vektorrum)
\end_layout

\begin_layout Standard
Dimensionen af 
\begin_inset Formula $\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

 er 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Paragraph
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
Det er allerede bemærket at 
\begin_inset Formula $\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

 kan udspændes af 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

elementer 
\begin_inset Formula $(\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\dots,\boldsymbol{e}_{n})$
\end_inset

.
 Det ønskes derfor kun vist at 
\begin_inset Formula $\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

 ikke kan udspændes af 
\emph on
færre end 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 elementer.
\end_layout

\begin_layout Standard
Det antages at 
\begin_inset Formula $\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

 udspændes af 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 elementer 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{a_{1},a_{2},\dots,a_{m}}\in\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

, dvs.
\begin_inset Formula 
\[
{\rm Span}(\boldsymbol{a_{1},a_{2},\dots,a_{m}})=\mathbb{F}^{n}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Lad nu 
\begin_inset Formula $A\in{\rm Mat}_{n,m}(\mathbb{F})$
\end_inset

 beskrive matricen, hvis 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

'te søjle er givet ved 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{a}_{i}$
\end_inset

.
 Da vil ligningssystemet 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
\end_inset

 have en løsning for ethvert 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\in\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

, grundet Lemma 5.16 samholdt med ovenstående.
\end_layout

\begin_layout Standard
Vi lader nu 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{e}_{i}\in\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

 betegne den 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

'te søjle i 
\begin_inset Formula $I_{n}$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}_{i}\in\mathbb{F}^{m}$
\end_inset

 for 
\begin_inset Formula $i=[1,n]$
\end_inset

 være en løsning til ligningssystemet 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{e}_{i}$
\end_inset

.
 Lad endvidere 
\begin_inset Formula $B\in{\rm Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$
\end_inset

 betegne matricen hvis 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

'te søjle er 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}_{i}$
\end_inset

 for 
\begin_inset Formula $i=[1,n]$
\end_inset

.
 Da gælder der at
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
A\cdot B & =\left(A\cdot\boldsymbol{b}_{1}\mid A\cdot\boldsymbol{b}_{2}\mid\cdots\mid A\cdot\boldsymbol{b}_{n}\right)\\
 & =\left(\boldsymbol{e}_{1}\mid\boldsymbol{e}_{2}\mid\cdots\mid\boldsymbol{e}_{n}\right)\\
 & =I_{n}.
\end{align*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Det homogene ligningssystem 
\begin_inset Formula $B\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$
\end_inset

 har kun har nulvektoren som løsning, da 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 er invertibel samholdt med Lemma 4.4 og 4.6.
 Proposition 1.14 implicerer da at 
\begin_inset Formula $m\geq n$
\end_inset

, hvilket fuldender beviset.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Hjælpesætning - Lemma 5.16
\end_layout

\begin_layout Standard
Et lineært ligningssystem 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
\end_inset

 har en løsning hvis og kun hvis 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}\in R(A)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Paragraph
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
Det at 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}$
\end_inset

 er i søjlerummet for 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 betyder at 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{b}$
\end_inset

 er på formen 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{v}$
\end_inset

 for et passende 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}\in\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

.
 Dette er netop betingelsen for at 
\begin_inset Formula $A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
\end_inset

 har en løsning.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Lemma 5.12 (Hvis tid?)
\end_layout

\begin_layout Standard
Mængden 
\begin_inset Formula ${\rm Span}(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})$
\end_inset

 udgør et underrum i 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 indeholdende alle elementerne 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n}$
\end_inset

.
 Ethvert underrum af 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 indeholdende 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n}$
\end_inset

 vil indeholde 
\begin_inset Formula ${\rm Span}(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})$
\end_inset

 som delmængde.
\end_layout

\begin_layout Paragraph
Meget uformel begrundelse
\end_layout

\begin_layout Standard
Dette er på grund af spannets og underrummets definition.
 Underrum er stabile overfor netop addition og skalarmultiplikation, hvilket
 er det linearkombinationer benytter sig af.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Noter
\end_layout

\begin_layout Standard
Skriv måske mere til Lemma 5.12
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Basis for vektorrum
\end_layout

\begin_layout Subsection
Definition 7.1 (
\emph on
Udspænde
\emph default
, 
\emph on
lineær
\emph default
 
\emph on
uafhængighed
\emph default
 og 
\emph on
basis
\emph default
)
\end_layout

\begin_layout Standard
For en samling af elementer 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}=(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})$
\end_inset

 i et 
\begin_inset Formula $\mathbb{F}$
\end_inset

-vektorrum 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

defineres:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Udspænding af 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula ${\rm Span}(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})=V$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Lineær uafhængighed: 
\begin_inset Formula $\begin{pmatrix}\alpha_{1}\\
\alpha_{2}\\
\vdots\\
\alpha_{n}
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\vdots & \vdots &  & \vdots\\
\boldsymbol{v}_{1} & \boldsymbol{v}_{2} & \cdots & \boldsymbol{v}_{n}\\
\vdots & \vdots &  & \vdots
\end{pmatrix}=\boldsymbol{0}\iff\alpha_{i}=0\:{\rm for}\:i=1,2,\dots,n$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Basis for 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 såfremt 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

 udspænder 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 samt er lineært uafhængig.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Lemma 7.2 (Relation af samlinger til afbildningsbegreber)
\end_layout

\begin_layout Standard
For en samling af elementer 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}=(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})$
\end_inset

 i et 
\begin_inset Formula $\mathbb{F}$
\end_inset

-vektorrum 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 gælder det at
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

udspænder 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 hvis og kun hvis 
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 er surjektiv
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

 er lineært uafhængig hvis og kun hvis 
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 er injektiv
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

 er en basis for 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 hvis og kun hvis 
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 er en isomorfi
\end_layout

\begin_layout Standard
Dette giver endvidere at 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

 er en basis for 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 netop når ethvert element i 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 
\emph on
på entydig vis
\emph default
 er en linearkombination af vektorerne i 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Paragraph
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
(1): Billedet af 
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 er lig 
\begin_inset Formula ${\rm Span}(\mathcal{V})$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 er surjektiv hvis og kun hvis 
\begin_inset Formula ${\rm Span}(\mathcal{V})=V$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
(2): 
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 er injektiv hvis og kun hvis at kernen for 
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 er lig 
\begin_inset Formula $\{\boldsymbol{0}\}$
\end_inset

 jf.
 Sætning 6.14.
 Vektoren 
\begin_inset Formula $(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n})^{T}$
\end_inset

 er et element i kernen for 
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 hvis og kun hvis identiteten 
\begin_inset Formula $\alpha_{1}\cdot\boldsymbol{v}_{1}+\alpha_{2}\cdot\boldsymbol{v}_{2}+\cdots+\alpha_{n}\cdot\boldsymbol{v}_{n}=0$
\end_inset

 er opfyldt.
\end_layout

\begin_layout Standard
For at 
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 kan være injektiv må identiteten kun være opfyldt hvis alle 
\begin_inset Formula $\alpha_{i}=0$
\end_inset

, hvilket netop er definitionen på, at 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

 er lineært uafhængig.
\end_layout

\begin_layout Standard
(3): Følger af (1) og (2), da isomorfi kræver samtidig surjektivitet og
 injektivitet ligesom basis kræver samtidig udspænding (surjektivitet) og
 lineær uafhængighed (injektivitet).
\end_layout

\begin_layout Subsection
Sætning 7.12 (
\emph on
Udtynding
\emph default
 og 
\emph on
udvidelse
\emph default
)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

er et vektorrum af endelig dimension 
\begin_inset Formula $n>0$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}=(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{m})$
\end_inset

 er en samling af 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 elementer i vektorrummet 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 Da er to ting mulige:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Hvis 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

 udspænder 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, så er 
\begin_inset Formula $n\leq m$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

 kan 
\emph on
udtyndes
\emph default
 til en basis for 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 Det vil sige at nogle af vektorerne i 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

 kan 
\emph on
fjernes
\emph default
 for at gøre 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

 til en basis for 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Hvis 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

 er lineært uafhængig, så er 
\begin_inset Formula $m\leq n$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

 kan 
\emph on
ud
\emph default
koordinattransformationsmatricer
\emph on
vides
\emph default
 til en basis for 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 Det vil sige at der kan 
\emph on
tilføjes
\emph default
 vektorerne fra 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 til 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

 for at gøre 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

 til en basis for 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Paragraph
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
Beviset foregår i to dele.
 Først vises udtynding og derefter udvidelse.
\end_layout

\begin_layout Subparagraph
(1)
\end_layout

\begin_layout Standard
Der argumenteres genmem induktion i 
\begin_inset Formula $m>0$
\end_inset

.
 Hvis 
\begin_inset Formula $m=1$
\end_inset

, så vil 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}=(\boldsymbol{v}_{1})$
\end_inset

 pr.
 antagelse udspænde 
\begin_inset Formula $V,$
\end_inset

 og da 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 ikke er nulrummet (da 
\begin_inset Formula $n>0$
\end_inset

) vil 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

 være lineært uafhængig (jf.
 Eks 7.6(A)).
 Derfor vil 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

 i dette tilfælde være en basis for 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 Proposition 
\begin_inset Formula $7.8$
\end_inset

 giver at 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 derved er lig 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

.
 Derfor kan det anvendes at 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}=\mathcal{W}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Det antages nu at 
\begin_inset Formula $m>1$
\end_inset

 og at udsagnet er vist i tilfældet 
\begin_inset Formula $m-1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Hvis 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

 er lineært 
\emph on
uafhængig
\emph default
, så er 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 en basis og dermed er 
\begin_inset Formula $n=m$
\end_inset

 ifølge Proposition 
\begin_inset Formula $7.8$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Hvis 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

 er lineært 
\emph on
afhængig
\emph default
, så eksisterer der jf.
 Lemma 7.7(1) et 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $1\leq i\leq m$
\end_inset

, så kan en ny samling 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}^{\prime}$
\end_inset

 skabes ud fra 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

 ved fjernelse af vektoren 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{i}$
\end_inset

 ift.
 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

 således at 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}^{\prime}$
\end_inset

 udspænder 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Pr.
 induktion kan det nye 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}^{\prime}$
\end_inset

 udtyndes til en basis for 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, og denne basis vil også være en udtynding af 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subparagraph
(2)
\end_layout

\begin_layout Standard
At 
\begin_inset Formula $m\leq n$
\end_inset

 følger af Lemma 7.10.
\end_layout

\begin_layout Standard
Der argumenteres ved induktion i tallet 
\begin_inset Formula $n-m\geq0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Hvis 
\begin_inset Formula $n-m=0$
\end_inset

, så er 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

 en basis for 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 jf.
 Proposition 7.11.
\end_layout

\begin_layout Standard
Det antages nu at 
\begin_inset Formula $n-m>0$
\end_inset

 og at udsagnet er vist i tilfældet 
\begin_inset Formula $(n-m)-1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Da 
\begin_inset Formula $m\neq n$
\end_inset

 er 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

 ikke en basis for 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 jf.
 Proposition 
\begin_inset Formula $7.8$
\end_inset

 (størrelse af basis skal være lig dimension af rum).
 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

 kan da ikke udspænde 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 Det må derfor være muligt at vælge et element 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}^{\prime}$
\end_inset

 i 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 som ikke er indeholdet i 
\begin_inset Formula ${\rm Span}(\mathcal{W})$
\end_inset

.
 Pr.
 Lemma 7.7(2) vil 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}^{\prime}=\mathcal{W}+\boldsymbol{v}^{\prime}$
\end_inset

 være lineært uafhængig.
\end_layout

\begin_layout Standard
Pr.
 induktion så kan 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}^{\prime}$
\end_inset

 nu udvides til en basis for 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 En sådan udvidelse vil samtidig være en udvidelse af det oprindelige 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Noter
\end_layout

\begin_layout Standard
Overvej at droppe Lemma 7.2 fra dispositionen.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Matrixrepræsentationer
\end_layout

\begin_layout Subsection
Definition 8.3 (
\emph on
Koordinatvektor
\emph default
)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\mathcal{V}=(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})$
\end_inset

 er en basis for et 
\begin_inset Formula $\mathbb{F}$
\end_inset

-vektorrum 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 
\emph on
Koordinatvektoren
\emph default
 for et element 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}\in V$
\end_inset

 mht.
 basen 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

 menes elementet 
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{V}}^{-1}(\boldsymbol{v})\in\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

.
 Koordinatvektoren kan også betegnes med 
\begin_inset Formula $\left[\boldsymbol{v}\right]_{\mathcal{V}}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Koordinatvektoren er den vektor
\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}\alpha_{1}\\
\alpha_{2}\\
\vdots\\
\alpha_{n}
\end{pmatrix}\in\mathbb{F}^{n}
\]

\end_inset

som opfylder relationen
\begin_inset Formula 
\[
\boldsymbol{v}=\alpha_{1}\cdot\boldsymbol{v}_{1}+\alpha_{2}\cdot\boldsymbol{v}_{2}+\cdots+\alpha_{n}\cdot\boldsymbol{v}_{n}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Definition 8.6 (
\emph on
Koordinattransformationsmatricen
\emph default
)
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}=(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}=(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\dots,\boldsymbol{w}_{n})$
\end_inset

 være baser for det samme 
\begin_inset Formula $\mathbb{F}$
\end_inset

-vektorrum 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 
\emph on
Koordinattransformationsmatricen for overgangen fra 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

-basen til 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

-basen defineres som matricen
\begin_inset Formula 
\[
_{\underset{til}{\underbrace{\mathcal{V}}}}\left[\boxempty\right]_{\underset{fra}{\underbrace{\mathcal{W}}}}=\begin{pmatrix}\vline & \vline &  & \vline\\
\left[\boldsymbol{w}_{1}\right]_{\mathcal{V}} & \left[\boldsymbol{w}_{2}\right]_{\mathcal{V}} & \cdots & \left[\boldsymbol{w}_{n}\right]_{\mathcal{V}}\\
\vline & \vline &  & \vline
\end{pmatrix}\in{\rm Mat_{n}(\mathbb{F})}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Definition 8.9 (
\emph on
Matrixrepræsentation
\emph default
)
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $L:\:W\rightarrow V$
\end_inset

 betegne en lineær afbildning mellem 
\begin_inset Formula $\mathbb{F}$
\end_inset

-vektorrum 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 med baser hhv.
 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}=(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\dots,\boldsymbol{w}_{n})$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}=(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})$
\end_inset

 .
 
\emph on
Matrixrepræsentationen
\emph default
 for 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 mht.
 til baserne 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

 defineres da som matricen
\end_layout

\begin_layout Standard

\emph on
\begin_inset Formula 
\[
_{\underset{til}{\underbrace{\mathcal{V}}}}\left[L\right]_{\underset{fra}{\underbrace{\mathcal{W}}}}=\begin{pmatrix}\vline & \vline &  & \vline\\
\left[L(\boldsymbol{w}_{1})\right]_{\mathcal{V}} & \left[L(\boldsymbol{w}_{2})\right]_{\mathcal{V}} & \cdots & \left[(\boldsymbol{w}_{n})\right]_{\mathcal{V}}\\
\vline & \vline &  & \vline
\end{pmatrix}\in{\rm Mat_{n}(\mathbb{F})}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Proposition 8.10(1) (Matrixrepræsentationer og koordinatvektorer)
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $L:\:V\rightarrow W$
\end_inset

 betegne en lineær afbildning mellem 
\begin_inset Formula $\mathbb{F}-vektorrum$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 med baser hhv.
 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

, så gælder:
\end_layout

\begin_layout Standard
(1)
\begin_inset Formula 
\[
\left[L(\boldsymbol{v})\right]_{\mathcal{W}}={}_{\mathcal{W}}\left[L\right]_{\mathcal{V}}\cdot\left[\boldsymbol{v}\right]_{\mathcal{V}}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
(2) Hvis 
\begin_inset Formula $A\,\in\text{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$
\end_inset

 opfylder relationen 
\begin_inset Formula $\left[L(\boldsymbol{v})\right]_{\mathcal{W}}=A\cdot\left[\boldsymbol{v}\right]_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 for alle 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}\,\in V$
\end_inset

, så er 
\begin_inset Formula $A=_{\mathcal{W}}\left[L\right]_{\mathcal{V}}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Bevis:
\end_layout

\begin_layout Standard
(1)
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

 være givet ved hhv.
 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}=(\boldsymbol{v_{1}},\boldsymbol{v_{2},\dots,v}_{n})$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}=(\boldsymbol{w_{1}},\boldsymbol{w_{2},\dots,w}_{n})$
\end_inset

.
 Eftersom 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

 er en basis for 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 så kan alle elementer 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}\,\in V$
\end_inset

 beskrives som en linearkombination af basen 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
\boldsymbol{v}=\alpha_{1}\cdot\boldsymbol{v}_{1}+\alpha_{2}\cdot\boldsymbol{v}_{2}+\cdots+\alpha_{n}\cdot\boldsymbol{v}_{n}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
og specielt vil 
\begin_inset Formula 
\[
L(\boldsymbol{v})=\alpha_{1}\cdot L(\boldsymbol{v})_{1}+\alpha_{2}\cdot L(\boldsymbol{v})_{2}+\cdots+\alpha_{n}\cdot L(\boldsymbol{v})_{n}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
grundet 
\series bold
Definition 6.1(b)
\series default
.
 Ligeledes, grundet egenskaberne ved koordinatvektorer beskrevet i prop
 8.4, så kan følgende konkluderes:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
[L(\boldsymbol{v})]_{\mathcal{W}}=\alpha_{1}\cdot[L(\boldsymbol{v})_{1}]_{\mathcal{W}}+\alpha_{2}\cdot[L(\boldsymbol{v})_{2}]_{\mathcal{W}}+\cdots+\alpha_{n}\cdot[L(\boldsymbol{v})_{n}]_{\mathcal{W}}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Hvilket kan opskrives som et produkt jf.
 med formel 5.25
\begin_inset Formula 
\[
_{\mathcal{W}}\left[L\right]_{\mathcal{V}}\cdot\begin{pmatrix}\alpha_{1}\\
\alpha_{2}\\
\vdots\\
\alpha_{n}
\end{pmatrix}={}_{\mathcal{W}}\left[L\right]_{\mathcal{V}}\cdot\left[\boldsymbol{v}\right]_{\mathcal{V}}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Hvilket viser udsagn (1).
\end_layout

\begin_layout Standard
(2)
\end_layout

\begin_layout Standard
Antag at en matrix 
\begin_inset Formula $A\in{\rm Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$
\end_inset

 opfylder egenskaben beskrevet i (2), så vil der gælde:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
[L(\boldsymbol{v}_{i})]_{\mathcal{W}}=A\cdot[\boldsymbol{v}_{i}]_{\mathcal{V}}=A\cdot\boldsymbol{e}_{i}\,\,\,\,for\,\,ethvert\,i=1,2,\dots,n
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Hvori højresiden er må være lig den i'te søjle i 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, men venstresiden er lig den i'te søjle i 
\begin_inset Formula $_{\mathcal{W}}\left[L\right]_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 og altså må de to være ens, som påstået i udsagn (2).
\end_layout

\begin_layout Subsection
Lemma 8.19
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $L:\:V\rightarrow W$
\end_inset

 betegne en lineær afbildning, og lad 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

 betegne baser for hhv.
 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

.
 Så gælder:
\end_layout

\begin_layout Standard
(1) Et element 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}\in V$
\end_inset

 tilhører kernen ker(
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

) for 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 hvis og kun hvis den tilsvarende koordinatvektor 
\begin_inset Formula $[\boldsymbol{v}]_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 er et element i nulrummet 
\begin_inset Formula $N(_{\mathcal{W}}\left[L\right]_{\mathcal{V}})$
\end_inset

 for matrixrepræsentationen 
\begin_inset Formula $_{\mathcal{W}}\left[L\right]_{\mathcal{V}}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
(2) Et element 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w\in}W$
\end_inset

 tilhører billedet af 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 hvis og kun hvis den tilsvarende koordinatvektor 
\begin_inset Formula $[\boldsymbol{w}]_{\mathcal{W}}$
\end_inset

 er et element i søjlerummet 
\begin_inset Formula $R(_{\mathcal{W}}\left[L\right]_{\mathcal{V}})$
\end_inset

 til matrixrepræsentation 
\begin_inset Formula $_{\mathcal{W}}\left[L\right]_{\mathcal{V}}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
(1)
\end_layout

\begin_layout Standard
Idet 
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{W}}$
\end_inset

 er en isomorfi (der findes en invers funktion, matrixrepræsentationens
 inverse), så er 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}\in V$
\end_inset

 et element i ker(
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

) hvis og kun hvis
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
L_{\mathcal{W}}^{-1}(L(\boldsymbol{v}))=0
\]

\end_inset

Venstresiden af dette er dog lig 
\begin_inset Formula $[L(\boldsymbol{v})]_{\mathcal{W}}$
\end_inset

 hvilket kan skrives som:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
[L(\boldsymbol{v})]_{\mathcal{W}}={}_{\mathcal{W}}\left[L\right]_{\mathcal{V}}\cdot\left[\boldsymbol{v}\right]_{\mathcal{V}}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
hvoraf det er oplagt at koordinatvektoren 
\begin_inset Formula $[\boldsymbol{v}]_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 skal være i nulrummet.
\end_layout

\begin_layout Standard
(2)
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad nu 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}\in W$
\end_inset

.
 Hvis 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}$
\end_inset

 er i billedet 
\begin_inset Formula $L(V)$
\end_inset

 så eksisterer der et 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}\in V$
\end_inset

, således at 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}=L(\boldsymbol{v}).$
\end_inset

 Dette leder til følgende sammenhæng:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
[\boldsymbol{w}]_{\mathcal{W}}=[L(\boldsymbol{v})]_{\mathcal{W}}={}_{\mathcal{W}}\left[L\right]_{\mathcal{V}}\cdot\left[\boldsymbol{v}\right]_{\mathcal{V}}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Hvilket betyder at 
\begin_inset Formula $[\boldsymbol{w}]_{\mathcal{W}}$
\end_inset

 må være et element i søjlerummet til 
\begin_inset Formula $_{\mathcal{W}}\left[L\right]_{\mathcal{V}}$
\end_inset

.
 Hvis omvendt 
\begin_inset Formula $[\boldsymbol{w}]_{\mathcal{W}}$
\end_inset

 er et element i søjlerummet til 
\begin_inset Formula $_{\mathcal{W}}\left[L\right]_{\mathcal{V}}$
\end_inset

, så må der findes en vektor 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{a}\in\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

 hvor 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 beskriver dimensionen af 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, så:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
[\boldsymbol{w}]_{\mathcal{W}}={}_{\mathcal{W}}\left[L\right]_{\mathcal{V}}\cdot\boldsymbol{a}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Hvis 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}=L_{\mathcal{V}}(\boldsymbol{a})$
\end_inset

 så:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
[L(\boldsymbol{v})]_{\mathcal{W}} & =_{\mathcal{W}}\left[L\right]_{\mathcal{V}}\cdot\left[\boldsymbol{v}\right]_{\mathcal{V}}\\
 & =_{\mathcal{W}}\left[L\right]_{\mathcal{V}}\cdot\boldsymbol{a}\\
 & =[\boldsymbol{w}]_{\mathcal{W}}
\end{align*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Idet 
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{W}}$
\end_inset

 er en isomorfi, så følger det at 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}=L(\boldsymbol{v})$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}$
\end_inset

 er derfor et element i billedet af 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Lemma 8.20
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $L\,:\,V\rightarrow W$
\end_inset

 betegne en lineær afbildning og lad 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

 betegne baser for hhv.
 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

.
 Lad 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 betegne rangen af matrixrepræsentationen 
\begin_inset Formula $_{\mathcal{W}}\left[L\right]_{\mathcal{V}}$
\end_inset

.
 Så gælder:
\end_layout

\begin_layout Standard
(1) Billedet af 
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{V}}(N({}_{\mathcal{W}}\left[L\right]_{\mathcal{V}}))$
\end_inset

 af nulrummet til 
\begin_inset Formula $_{\mathcal{W}}\left[L\right]_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 under isormorfien 
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 er lig kernen ker
\begin_inset Formula $(L)$
\end_inset

.
 Specielt inducerer 
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 en isomorfi:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
N(_{\mathcal{W}}\left[L\right]_{\mathcal{V}}) & \rightarrow ker\,L\\
 & \boldsymbol{a\mapsto}L_{\mathcal{V}}(\boldsymbol{a})
\end{align*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Og vi har derfor: dim(ker(
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

))
\begin_inset Formula $=\text{dim}(V)-r$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
(2) Billedet 
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{W}}(R(_{W}[L]_{\mathcal{V}}))$
\end_inset

 af søjlerummet til 
\begin_inset Formula $_{\mathcal{W}}[L]_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 under 
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{W}}$
\end_inset

 er lig billedet 
\begin_inset Formula $L(V)$
\end_inset

.
 Specielt inducerer 
\begin_inset Formula $L_{\mathcal{W}}$
\end_inset

 en isomorfi
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
R(_{\mathcal{W}}[L]_{\mathcal{V}}) & \rightarrow L(V),\\
 & \boldsymbol{b}\mapsto L_{\mathcal{W}}(\boldsymbol{b})
\end{align*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Og derfor har vi: 
\begin_inset Formula $\text{dim}(L(V))=r$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Indre produkt
\end_layout

\begin_layout Subsection
Definition 9.1
\end_layout

\begin_layout Standard
Afbildningen
\begin_inset Formula 
\[
\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle :V\times V\rightarrow\mathbb{K}
\]

\end_inset

benævnes som det 
\emph on
indre produkt
\emph default
 hvis der for alle 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in V$
\end_inset

 og skalarer 
\begin_inset Formula $\alpha,\beta\in\mathbb{K}$
\end_inset

 gælder at:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Skalaren 
\begin_inset Formula $\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{v}\right\rangle $
\end_inset

 er et reelt tal, der er større end eller lig med nul.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{v}\right\rangle =0\implies\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle =\overline{\left\langle \boldsymbol{w},\boldsymbol{v}\right\rangle }$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\left\langle \alpha\cdot\boldsymbol{u}+\beta\cdot\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle =\alpha\cdot\left\langle \boldsymbol{u},\boldsymbol{w}\right\rangle +\beta\cdot\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle $
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Bemærkning 9.4 (Naiv definition af komplekst skalarprodukt)
\end_layout

\begin_layout Subsection
Definition 9.5 (Norm)
\end_layout

\begin_layout Standard

\emph on
Normen
\emph default
 af et element 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
\end_inset

 i et indre produkt rum 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 defineres som
\begin_inset Formula 
\[
\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert =\sqrt{\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{v}\right\rangle }\in\mathbb{R}_{\geq0}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Definition 9.7 (Ortogonalitet)
\end_layout

\begin_layout Standard
To elementer 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}$
\end_inset

 i et indre produkt rum kaldes 
\emph on
ortogonale
\emph default
 hvis
\begin_inset Formula 
\[
\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle =0
\]

\end_inset

dette skrives også som
\begin_inset Formula 
\[
\boldsymbol{v}\perp\boldsymbol{w}.
\]

\end_inset

Denne betingelse er oplagt symmetrisk (betingelse 3 (c) i definitionen af
 indre produkt) således at
\begin_inset Formula 
\[
\boldsymbol{v}\perp\boldsymbol{w}\iff\boldsymbol{w}\perp\boldsymbol{v}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Lemma 9.11
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}$
\end_inset

 hvor 
\begin_inset Formula $w\neq0$
\end_inset

 betegne elementer i et indre produkt rum 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 Der kan da findes en ortogonal projektion 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
\end_inset

 af 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
\end_inset

 på 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}$
\end_inset

, hvilken er givet ved
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\boldsymbol{p}=\frac{\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle }{\left\langle \boldsymbol{w},\boldsymbol{w}\right\rangle }\boldsymbol{w}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
Eftersom 
\begin_inset Formula $\alpha\cdot\boldsymbol{w}$
\end_inset

 per definition vil være en ortogonal projektion af 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
\end_inset

 på 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}$
\end_inset

, såfremt
\begin_inset Formula 
\[
\left\langle \boldsymbol{v}-\alpha\cdot\boldsymbol{w},\boldsymbol{w}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle -\alpha\cdot\left\langle \boldsymbol{w},\boldsymbol{w}\right\rangle =0
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
hvilket netop vil gælde når
\begin_inset Formula 
\[
\alpha=\frac{\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle }{\left\langle \boldsymbol{w},\boldsymbol{w}\right\rangle }
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Hvilket afslutter beviset, da den ortogonale projektion udregnes ved at
 sige 
\begin_inset Formula $v-(\alpha\cdot\boldsymbol{w})$
\end_inset

, så det ekstra 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}$
\end_inset

 i udregningen for 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
\end_inset

, kommer derfra.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Proposition 9.12 (Cauchy-Schwarz' ulighed)
\end_layout

\begin_layout Standard
For vektorer 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}$
\end_inset

 i et indre produkt rum 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 gælder der uligheden
\begin_inset Formula 
\[
|\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle |\leq\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \cdot\left\Vert \boldsymbol{w}\right\Vert 
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
hvor venstresiden betegner den absolutte værdi af skalaren 
\begin_inset Formula $\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle $
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
Uligheden er allerede opfyldt, hvis 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}=\boldsymbol{0}$
\end_inset

, jf.
 Lemma 9.6(3), dvs skalarproduktet af noget med nulvektoren, vil altid give
 0 og ligeså vil længden af nulvektoren være 0.
\end_layout

\begin_layout Standard
Antag derfor at 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}\neq0$
\end_inset

 og lad 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
\end_inset

 betegne den ortogonale projektion af 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
\end_inset

 på 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}$
\end_inset

, så er
\begin_inset Formula 
\[
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{p}+(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{p})
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
og 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}-\boldsymbol{p}$
\end_inset

 er heri ortogonale (Tænk over det, 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}-\boldsymbol{p}$
\end_inset

, er vektoren der står vinkelret på 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
\end_inset

 og når til 'enden' af 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
\end_inset

).
 Denne opspaltning er halvvejs en god ide, men definitionen på v kommer
 først senere i bogen under et andet kapitel.
 Det svarer til 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{p}+\boldsymbol{h}$
\end_inset

 i den senere definition.
\end_layout

\begin_layout Standard
Vi får den gode ide, at det ligner en trekant (hvis man tegner de forskellige
 vektorer), og kan derfor bruge Pythagoras sætning til at finde længden
 af 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}.$
\end_inset

 Ifølge Pythagoras sætning, prop 9.9, så kan normen af vektoren 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
\end_inset

, så findes ved
\begin_inset Formula 
\[
\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert ^{2}=\left\Vert \boldsymbol{p}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \boldsymbol{v}-\boldsymbol{p}\right\Vert ^{2}\ge\left\Vert \boldsymbol{p}\right\Vert ^{2}
\]

\end_inset

hvilket betyder at 
\begin_inset Formula $\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \ge\left\Vert \boldsymbol{p}\right\Vert $
\end_inset

.
 Dette kan via definition på en ortogonal projektion og Lemma 9.6(2) (
\begin_inset Formula $\left\Vert \alpha\boldsymbol{v}\right\Vert =|\alpha|\cdot\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert $
\end_inset

) lede til udledningen
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\left\Vert \boldsymbol{p}\right\Vert =\frac{|\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle |}{\left\Vert \boldsymbol{w}\right\Vert ^{2}}\cdot\left\Vert \boldsymbol{w}\right\Vert =\frac{|\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle |}{\left\Vert \boldsymbol{w}\right\Vert }
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Hvilket betyder
\begin_inset Formula 
\[
\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \ge\frac{|\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle |}{\left\Vert \boldsymbol{w}\right\Vert }
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
hvilket er ækvivalent med den oprindelige ulighed.
 
\end_layout

\begin_layout Section
Ortogonale og Ortonormale baser
\end_layout

\begin_layout Subsection
Definition 10.1 (Ortogonale og ortonormale mængder)
\end_layout

\begin_layout Standard
En samling af elementer 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v_{1}},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n}\in V$
\end_inset

 kaldes en ortogonal mængde, såfremt følgende betingelser er opfyldt.
\end_layout

\begin_layout Standard
(a) 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{i}\ne\boldsymbol{0}$
\end_inset

 for 
\begin_inset Formula $i=1,2,\dots,n$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
(b) 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{i}\perp\boldsymbol{v}_{j}$
\end_inset

 når 
\begin_inset Formula $i\ne j$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
(c) 
\begin_inset Formula $\left\Vert \boldsymbol{v}_{i}\right\Vert =1$
\end_inset

 for 
\begin_inset Formula $i=1,2,\dots,n$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Såfremt (c) også opfyldes, så er det en ortoNORMAL mængde, da alle vektorer
 er normaliserede.
 Man kan nemt komme fra en ortogonal mængde til en ortonormal mængde, ved
 blot at normalisere hver vektor i den ortogonale mængde:
\begin_inset Formula 
\[
\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{v}_{i}\right\Vert }\boldsymbol{v}_{i}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Lemma 10.22 (Gram-Schmidt)
\end_layout

\begin_layout Standard
Gram-Schmidt processen bruges til at tage en normal basis, først ændre den
 til en ortogonal base og derefter normalisere den, så man får en ortonormal
 basis.
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 betegne et indre produkt rum med basis 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}=(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})$
\end_inset

.
 Lad 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}_{k}$
\end_inset

 for 
\begin_inset Formula $k=1,2,\dots,n-1$
\end_inset

 betegne den ortogonale projektion af 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{k+1}$
\end_inset

 på underrummet 
\begin_inset Formula $\text{Span}(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{k})$
\end_inset

, så er
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\mathcal{W}=(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{v}_{3}-\boldsymbol{p}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n}-\boldsymbol{p}_{n-1})
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
også en basis for 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
Start med at sætte 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{1}=\boldsymbol{v}_{1}$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{k}=\boldsymbol{v}_{k}-\boldsymbol{p}_{k-1}$
\end_inset

 for 
\begin_inset Formula $k=1,2,\dots n$
\end_inset

.
 Jf.
 prop 10.4 (der siger at en ortogonale mængde er lineært uafhængig) og prop
 7.11 (der siger at for en mængde af elementer i vektorrummmet 
\begin_inset Formula $V_{n},$
\end_inset

 gælder, at hvis mængden er af størrelse n, så er tre udsagn ækvivalente,
 heriblandt lineært uafhængighed og værende en basis, så mængden udspænder
 også 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

), er det tilstrækkeligt at vise at 
\begin_inset Formula $(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\dots,\boldsymbol{w}_{n})$
\end_inset

 er en ortogonal mængde.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $V_{k}$
\end_inset

, for 
\begin_inset Formula $k=1,2,\dots,n$
\end_inset

 betegne underrummet 
\begin_inset Formula $\text{Span}(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{k})$
\end_inset

.
 Der påstås så
\begin_inset Formula 
\[
\boldsymbol{w}_{k+1}\in V_{k}^{\perp}\cap V_{k+1}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
for 
\begin_inset Formula $k=1,2,\dots,n-1$
\end_inset

.
 Hvilket kan forstås som at elementet 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{k+1}$
\end_inset

 både er ortogonal på mængden af 
\begin_inset Formula $V_{k}$
\end_inset

, men den også er i mængden af 
\begin_inset Formula $V_{k+1}$
\end_inset

.
 I første omgang 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}_{k}$
\end_inset

, for 
\begin_inset Formula $k=1,2,\dots,n-1$
\end_inset

, den ortogonale projektion af 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{k+1}$
\end_inset

 på 
\begin_inset Formula $V_{k}$
\end_inset

, hvilket derfor implicerer at 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{k+1}=\boldsymbol{v}_{k+1}-\boldsymbol{p}_{k}\in V_{k}^{\perp}$
\end_inset

, per definition 10.11 (Definitionen for ortogonal projektion).
 Desuden er 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{k+1}=\boldsymbol{v}_{k+1}-\boldsymbol{p}_{k}$
\end_inset

 en differens mellem to elementer i 
\begin_inset Formula $V_{k+1}$
\end_inset

 (da 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}_{k}$
\end_inset

 er en projektion og dermed i rummet), hvilket betyder at 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{k+1}$
\end_inset

 selv er et element i 
\begin_inset Formula $V_{k+1}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Der ønskes så at vise at 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{i}$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{j}$
\end_inset

 med 
\begin_inset space ~
\end_inset

i < j er ortogonale.
 j må være større end 1 og ovenstående formel implicerer derfor
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\boldsymbol{w}_{j}\in V_{j-1}^{\perp}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
hvilket må betyde at 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{j}$
\end_inset

 er ortogonal på 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{i},$
\end_inset

 idet 
\begin_inset Formula 
\[
\boldsymbol{w}_{i}\in V_{i}\subseteq V_{j-1}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
og antagelsen at 
\begin_inset Formula $i<j$
\end_inset

.
 Dette er oplagt, da 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{i}\in V_{j-1}$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{j}\in V_{j-1}^{\perp},$
\end_inset

 så 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{j}$
\end_inset

 er i det ortogonale komplement til den mængde 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{i}$
\end_inset

 er i.
 Nu ønskes der blot at vise at 
\begin_inset Formula $(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\dots,\boldsymbol{w}_{n})$
\end_inset

 er forskellige fra 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
\end_inset

.
 Først er 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{1}=\boldsymbol{v}_{1}$
\end_inset

 forskellig fra 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{0},$
\end_inset

 da 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{1}$
\end_inset

 er en del af basen 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

 for 
\begin_inset Formula $V.$
\end_inset

 Dernæst betragtes 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{k}$
\end_inset

 for 
\begin_inset Formula $k>1$
\end_inset

.
 Såfremt 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{k}=0,$
\end_inset

 så vil 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{k}=\boldsymbol{p}_{k-1}$
\end_inset

 være et element i 
\begin_inset Formula $V_{k-1}$
\end_inset

, men det ville betyde at 
\begin_inset Formula $(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{k})$
\end_inset

 er lineært afhængig, da elementet 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{k}\in V_{k-1}$
\end_inset

, jf.
 Lemma 7.7(2), hvilket er i modstrid med antagelsen.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Lemma 10.23
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 betegne et indre produkt rum med basis 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}=(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})$
\end_inset

 og lad 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}=(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\dots,\boldsymbol{w}_{n})$
\end_inset

 betegne den ortogonale basis for 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 bestemt ud fra 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

.
 Lemma 10.23 omhandler at tage en basis og så gå fra den basis direkte til
 den ortonormale basis.
 Dog kan man blot bruge lemma 10.22 og så derefter normalisere vektorerne
 i 
\begin_inset Formula $\mathcal{W},$
\end_inset

 hvilket er grunden til det lige nævnes nu.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\boldsymbol{u}_{i}=\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{w}_{i}\right\Vert }\boldsymbol{w}_{i}\quad for\,i=1,2,\dots,n
\]

\end_inset

 Hvis man ønsker at gå direkte, så defineres det første element 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{u}_{1}$
\end_inset

 da til:
\begin_inset Formula 
\[
\boldsymbol{u}_{1}=\frac{1}{\left\Vert v_{1}\right\Vert }\boldsymbol{v}_{1}
\]

\end_inset

 jf.
 med definitionen af 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{1}$
\end_inset

 i Lemma 10.22, hvor de resterende elementer defineres:
\begin_inset Formula 
\[
\boldsymbol{u}_{k+1}=\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{v}_{k+1}-\boldsymbol{p}_{k}\right\Vert }(\boldsymbol{v}_{k+1}-\boldsymbol{p}_{k})\qquad for\,k=1,2,\dots,n-1
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Hvor 
\begin_inset Formula 
\[
\boldsymbol{p}_{k}=\left\langle \boldsymbol{v}_{k+1},\boldsymbol{u}_{1}\right\rangle \boldsymbol{u}_{1}+\left\langle \boldsymbol{v}_{k+1},\boldsymbol{u}_{2}\right\rangle \boldsymbol{u}_{2}+\dots+\left\langle \boldsymbol{v}_{k+1},\boldsymbol{u}_{k}\right\rangle \boldsymbol{u}_{k}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dette vil ikke bevises, men er her blot for at illustrere hvad Lemma 10.22
 bruges til.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage pagebreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Determinanter
\end_layout

\begin_layout Subsection
Noget med definitionen på en determinant
\end_layout

\begin_layout Subsection
Sætning 11.18
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $A,\,B\in\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$
\end_inset

, så er 
\begin_inset Formula 
\[
\text{Det}(A\cdot B)=\text{Det}(A)\cdot\text{Det}(B)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
Antag at 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 er singulær, altså den har ingen invers.
 Der påstås at dette betyder at 
\begin_inset Formula $A\cdot B$
\end_inset

 er singulær, da 
\begin_inset Formula $B\cdot(A\cdot B)^{-1}$
\end_inset

 ellers ville være en invers til 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, eftersom
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
A\cdot(B\cdot(A\cdot B)^{-1})=(A\cdot B)\cdot(A\cdot B)^{-1}={\rm {\rm I}}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Hvilket er umuligt, da 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 per antagelse er singulær.
 Eftersom 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 er singulær, må 
\begin_inset Formula $\text{Det}(A)=0$
\end_inset

, da dette, jf.
 prop 11.17, betyder at 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 ikke er invertibel.
 Derfor gælder følgende:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\text{Det}(A\cdot B)=\text{Det}(A)=\boldsymbol{0}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Hvilket opfylder det oprindelige, da alt ganget med 0, vil give 0 og det
 derfor ikke gør nogen forskel, hvad B er.
 Desuden er produktet af 
\begin_inset Formula $A\cdot B$
\end_inset

 også en singulær kvadratisk matrice og dermed er 
\begin_inset Formula $\text{Det}(A\cdot B)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Antag så at 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 er invertibel og dermed rækkeækvivalent med identitetsmatricen.
 Dette betyder at den opdelte matrix 
\begin_inset Formula $(A\,\vline\,A\cdot B)$
\end_inset

 er rækkeækvivalent med 
\begin_inset Formula $({\rm I}\,\vline\,C)$
\end_inset

 jf.
 prop 4.6, for en passende matric 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

, i dette tilfælde noget der er rækkeækvivalent med 
\begin_inset Formula $A\cdot B$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Dette resultat betyder, at der jf.
 Lemma 11.16 eksisterer en skalar 
\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{F}$
\end_inset

, så
\begin_inset Formula 
\[
\text{Det}(A)=\alpha\cdot\text{Det}({\rm I})
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
og dermed også
\begin_inset Formula 
\[
\text{Det}(A\cdot B)=\alpha\cdot\text{Det}(C)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Men jf.
 prop 11.17, så implicerer ovenstående at 
\begin_inset Formula $\text{Det}(A)=\alpha$
\end_inset

 og hvis dette indsættes i sidstnævnte formel, så opnås følgende:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\text{Det}(A\cdot B)=\text{Det}(A)\cdot\text{Det}(C)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Hvori C er lig
\begin_inset Formula 
\[
C=A^{-1}\cdot(A\cdot B)=B
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
jf.
 prop 4.12, der siger at da 
\begin_inset Formula $A\cdot B$
\end_inset

 er rækkeækvivalent med 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

, så gælder ovenstående formel.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Proposition 11.30
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $A\in\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$
\end_inset

.
 Så er
\begin_inset Formula 
\[
\text{adj}(A)\cdot A=\text{Det}(A)\cdot{\rm I}=A\cdot\text{adj}(A)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
hvori 
\begin_inset Formula ${\rm I}\in\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$
\end_inset

 betegner identitetsmatricen.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
Jf.
 deinitionen på matrixproduktet, så kan den 
\begin_inset Formula $(i,j)$
\end_inset

'te indgang i produktet 
\begin_inset Formula $A\cdot\text{adj}(A)$
\end_inset

 beskrives som
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{r=1}^{n}a_{i,r}A_{j,r}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Husk at hver indgang 
\begin_inset Formula $(i,j)$
\end_inset

 i 
\begin_inset Formula $\text{adj}(A)$
\end_inset

 består af kofaktorer og derfor er 
\begin_inset Formula $A_{i,j}$
\end_inset

 et tal og ikke en matrice.
 Ovenstående formel beskriver jf.
 Proposition 11.26 også determinaten af matricen, der kan fremkomme ved at
 udskifte den 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

'te række i 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 med den 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

'te række i 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Såfremt 
\begin_inset Formula $i\neq j$
\end_inset

, så er determinanten lig 0, jf.
 Lemma 11.13, da der isåfald vil være to ens rækker, men hvis 
\begin_inset Formula $i=j$
\end_inset

, så er determinanten lig 
\begin_inset Formula $\text{Det}(A)$
\end_inset

.
 Derfor gælder identiteten
\begin_inset Formula 
\[
\text{Det}(A)\cdot{\rm I}=A\cdot\text{adj}(A)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Den resterende del af den oprindelige proposition, følger ved at anvende
 ovenstående på matricen 
\begin_inset Formula $A^{T}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\text{Det}(A^{T})\cdot{\rm I}=A^{T}\cdot\text{adj}(A^{T})=A^{T}\cdot\text{adj}(A)^{T}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Hvor det sidste lighedstegn følger af Lemma 11.29.
 Dermed jf.
 Lemma 11.20, vil:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\text{Det}(A)\cdot{\rm I}=A^{T}\cdot\text{adj}(A)^{T}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
hvilket implicerer
\begin_inset Formula 
\[
\text{adj}(A)\cdot A=(A^{T}\cdot\text{adj}(A)^{T})^{T}=(\text{Det}(A)\cdot{\rm I)^{T}=\text{Det}(A)\cdot{\rm I}}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
hvori det sidste lighedstegn følger, da 
\begin_inset Formula $\text{Det}(A)\cdot{\rm I}$
\end_inset

 er diagonal.
 Hermed er beviset afsluttet.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Korollar 13.32
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $A\in\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$
\end_inset

 med 
\begin_inset Formula $n>1$
\end_inset

.
 For 
\begin_inset Formula $i\le i\le n$
\end_inset

 gælder
\begin_inset Formula 
\[
\text{Det}(A)=\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}\cdot A_{i,j}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Tilsvarende gælder der, for 
\begin_inset Formula $1\leq j\leq n$
\end_inset

, at
\begin_inset Formula 
\[
\text{\text{Det}(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{i,j}\cdot A_{i,j}}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Disse kan relateres til prop 11.30 og dermed bruges til at beskrive henholdsvis
 udvikling af række og søjle.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage pagebreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Egenværdier og egenvektorer
\end_layout

\begin_layout Subsection
Definition 12.1 (Egenværdi og egenvektor)
\end_layout

\begin_layout Standard
Et element 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v\in}V\setminus\{\boldsymbol{0}\}$
\end_inset

 siges at være en egenvektor for L, såfremt der eksisterer en skalar 
\begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{F},$
\end_inset

 så
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
L(\boldsymbol{v})=\lambda\cdot\boldsymbol{v}
\]

\end_inset

Hvor 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

 kaldes for egenværdien hørende til 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
\end_inset

.
 Dette kan også gøres for matricer, såfremt 
\begin_inset Formula $L=L_{A},$
\end_inset

 så
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
A\cdot\boldsymbol{v}=\lambda\cdot\boldsymbol{v}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Definition 12.4 (Egenrum)
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $L:V\rightarrow V$
\end_inset

 betegne en lineær operator, og lad 
\begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{F}$
\end_inset

.
 Egenrummet for L tilhørende 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

 defineres til:
\begin_inset Formula 
\[
E_{L}(\lambda)=\{\boldsymbol{v}\in V\,|\,L(\boldsymbol{v})=\lambda\cdot\boldsymbol{v}\}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dette kan også defineres som en matric, definitionen følger.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Definition 12.16 (Similære matricer)
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $A,B\in\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$
\end_inset

 betegne kvadratiske matricer.
 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 er da similære, hvis der eksisterer en invertibel matrix 
\begin_inset Formula $S\in\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$
\end_inset

, så 
\begin_inset Formula $A=S^{-1}\cdot B\cdot S$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
At de er similære, betyder blandt andet at de har det samme karakteristiske
 polynomium, pr.
 Lemma 12.15 og derfor har de ens egenværdier.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dette viser at det karakteristiske polynomium ikke afhænger af basen.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Lemma 12.15 (Similære Matricer)
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $A,B\in\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$
\end_inset

 og lad 
\begin_inset Formula $S\in\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$
\end_inset

 betegne en invertibel matrix, så gælder
\begin_inset Formula 
\[
A=S^{-1}\cdot B\cdot S
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
og så er de karakteristiske polynomiumer 
\begin_inset Formula $p_{A}$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $p_{B}$
\end_inset

 ens.
 
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $t\in\mathbb{F}.$
\end_inset

 Vi skal da vise at 
\begin_inset Formula $p_{A}(t)=p_{B}(t),$
\end_inset

 derfor:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\text{Det}(A-t\cdot{\rm I})=\text{Det}(B-t\cdot{\rm I})
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Men
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
S^{-1}\cdot(B-t\cdot{\rm I)\cdot S} & =S^{-1}\cdot B\cdot S-t\cdot S^{-1}\cdot S\\
 & =S^{-1}\cdot B\cdot S-t\cdot S^{-1}\cdot S\\
 & =A-t\cdot{\rm I}
\end{align*}

\end_inset

 Så derfor konkluderes:
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
p_{A}(t) & =\text{Det}(A-t\cdot{\rm I})\\
 & =\text{Det}(S^{-1}\cdot(B-t\cdot{\rm I})\cdot S)\\
 & =\text{Det(}S^{-1})\cdot\text{Det}(B-t\cdot{\rm I})\cdot\text{Det}(S)\\
 & =\text{Det}(S^{-1})\cdot p_{B}(t)\cdot\text{Det}(S)\\
 & =\text{Det}(S^{-1}\cdot S)\cdot p_{B}(t)\\
 & =p_{B}(t)
\end{align*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Hvilket afslutter beviset.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Definition 13.1 (Diagonaliserbar, bare lige SUPER kort)
\end_layout

\begin_layout Standard
Ting går ned langs diagonalen, wuhu.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Proposition 13.2(Diagonalgøgl)
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}=(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})$
\end_inset

 betegne en basis for 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 Så er 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

 en basis af egenvektorer for 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 hvis og kun hvis matrixrepræsentationen 
\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 er diagonal.
 I givet fald er den 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

'te diagonalindgang i 
\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 lig egenværdien for 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{i}.$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
Bemærk at den 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

'te søjle i 
\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 er lig koordinatvektoren 
\begin_inset Formula $[L(\boldsymbol{v}_{i})]_{\mathcal{V}}\in\mathbb{F}^{n},$
\end_inset

 jf.
 definition 8.9 (Definitionen for matrixrepræsentation).
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Hvis 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

 er en basis for 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 bestående af egenvektorer for 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

, så vil den 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

'te søjle i 
\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 være lig
\begin_inset Formula 
\[
[L(\boldsymbol{v}_{i})]_{\mathcal{V}}=[\lambda_{i}\cdot\boldsymbol{v}_{i}]_{\mathcal{V}}=\lambda_{i}\cdot[v]_{\mathcal{V}}=\lambda_{i}\cdot\boldsymbol{e}_{i}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Specielt er 
\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 da diagonal med 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

'te diagonalindgang lig 
\begin_inset Formula $\lambda_{i}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Hvis omvendt 
\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 er diagonal med diagonalindgange 
\begin_inset Formula $\lambda_{i}$
\end_inset

 for 
\begin_inset Formula $i=1,2,\dots,n$
\end_inset

, så er
\begin_inset Formula 
\[
[L(\boldsymbol{v}_{i})]_{\mathcal{V}}=\lambda_{i}\cdot\boldsymbol{e}_{i}=\lambda_{i}\cdot[\boldsymbol{v}]_{\mathcal{V}}=[\lambda_{i}\cdot\boldsymbol{v}_{i}]_{\mathcal{V}}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
og dermed gælder der at
\begin_inset Formula 
\[
L(\boldsymbol{v}_{i})=\lambda_{i}\cdot\boldsymbol{v}_{i}\qquad for\,\,i=1,2,\dots,n
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Hvilket afslutter beviset at 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

 består af egenvektorer.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dette kan også omskrives til matricer, men dette bevis er udeladt.
 Det er Lemma 13.3.
\end_layout

\begin_layout Section
Diagonalisering
\end_layout

\begin_layout Subsection
Definition 13.1 (Diagonaliserbar)
\end_layout

\begin_layout Standard
Den lineære operator 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 kaldes 
\series bold
diagonaliserbar 
\series default
såfremt der eksisterer en basis 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 bestående af egenvektorer for L.
 En matrix 
\begin_inset Formula $A\in\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$
\end_inset

 siges at være diagonaliserbar, hvis det tilsvarende er gældende for den
 lineære operator 
\begin_inset Formula $L_{A}:\mathbb{F}^{n}\rightarrow\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Proposition 13.2 (Diagonalgøgl)
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}=(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})$
\end_inset

 betegne en basis for 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 Så er 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

 en basis af egenvektorer for 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 hvis og kun hvis matrixrepræsentationen 
\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 er diagonal.
 I givet fald er den 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

'te diagonalindgang i 
\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 lig egenværdien for 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{i}.$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
Bemærk at den 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

'te søjle i 
\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 er lig koordinatvektoren 
\begin_inset Formula $[L(\boldsymbol{v}_{i})]_{\mathcal{V}}\in\mathbb{F}^{n},$
\end_inset

 jf.
 definition 8.9 (Definitionen for matrixrepræsentation).
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Hvis 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

 er en basis for 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 bestående af egenvektorer for 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

, så vil den 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

'te søjle i 
\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 være lig
\begin_inset Formula 
\[
[L(\boldsymbol{v}_{i})]_{\mathcal{V}}=[\lambda_{i}\cdot\boldsymbol{v}_{i}]_{\mathcal{V}}=\lambda_{i}\cdot[v]_{\mathcal{V}}=\lambda_{i}\cdot\boldsymbol{e}_{i}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Specielt er 
\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 da diagonal med 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

'te diagonalindgang lig 
\begin_inset Formula $\lambda_{i}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Hvis omvendt 
\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
\end_inset

 er diagonal med diagonalindgange 
\begin_inset Formula $\lambda_{i}$
\end_inset

 for 
\begin_inset Formula $i=1,2,\dots,n$
\end_inset

, så er
\begin_inset Formula 
\[
[L(\boldsymbol{v}_{i})]_{\mathcal{V}}=\lambda_{i}\cdot\boldsymbol{e}_{i}=\lambda_{i}\cdot[\boldsymbol{v}]_{\mathcal{V}}=[\lambda_{i}\cdot\boldsymbol{v}_{i}]_{\mathcal{V}}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
og dermed gælder der at
\begin_inset Formula 
\[
L(\boldsymbol{v}_{i})=\lambda_{i}\cdot\boldsymbol{v}_{i}\qquad for\,\,i=1,2,\dots,n
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Hvilket afslutter beviset at 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

 består af egenvektorer.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Lemma 13.3 (Diagonalgøgl, nu med matricer)
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{A\in\text{Mat}_{n}(\mathbb{F}).}$
\end_inset

 For en invertibel matrix 
\begin_inset Formula $S\in\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$
\end_inset

 vil 
\begin_inset Formula 
\[
D=S^{-1}AS
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
være en diagonalmatrix hvis og kun hvis søjlerne i 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 udgør en basis for 
\begin_inset Formula $\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

, bestående af egenvektorer for 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 I givet fald vil egenværdien for den 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

'te søjle i 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 være identisk med en 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

'te diagonalindgang i 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

.
 Specielt er 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 diagonaliserbar hvis og kun hvis 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 er similær til en diagonalmatrix (similariteten følger af definition 12.16).
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $S\in\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$
\end_inset

 betegne en matrix med søjler 
\begin_inset Formula $(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})$
\end_inset

.
 Jf .
 proposition 7.3 (Hvis 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 er en kvadratisk matrix med søjler 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{a}_{1},\dots,\boldsymbol{a}_{n}$
\end_inset

 så er 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 invertibel hvis og kun hvis 
\begin_inset Formula $(\boldsymbol{a}_{1},\dots,\boldsymbol{a}_{n})$
\end_inset

 er en basis for 
\begin_inset Formula $\mathbb{F}^{n}$
\end_inset

), såfremt 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 er invertibel, så vil vi yderligere have, at
\begin_inset Formula 
\[
S=_{\varepsilon}[\boxempty]_{\mathcal{V}}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
hvilket, jf.
 eksempel 8.8(A), betyder at, for hver søjle, siger 
\begin_inset Formula $[\boldsymbol{v}_{i}]_{\varepsilon}$
\end_inset

 og det altså oplagt er matricen der indholder egenvektorer.
 Dermed er
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
S^{-1}AS=\,_{\varepsilon}[\boxempty]_{\mathcal{V}}^{-1}\cdot_{\varepsilon}[L_{A}]_{\varepsilon}\cdot{}_{\varepsilon}[\boxempty]_{\mathcal{V}}=_{\mathcal{V}}[L_{A}]_{\mathcal{V}}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Jf.
 korollar 8.13 og prop 8.7, der begger siger noget om at det er ok at kæde
 transformationsmatricerne sammen.
 Det endelige udsagn følger da af prop 13.2
\end_layout

\begin_layout Section
Spektralsætningen
\end_layout

\begin_layout Subsection
Sætning 14.18
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $L:V\rightarrow V$
\end_inset

 betegne en selvadjungeret operator.
 Så gælder der:
\end_layout

\begin_layout Standard
(1) Alle egenværdier for 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 er reele.
\end_layout

\begin_layout Standard
(2) Såfremt 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}$
\end_inset

 er egenvektorer for 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 hørende til forskellige egenværdier, så er 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}$
\end_inset

 ortogonale.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
(1)
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{u}$
\end_inset

 betegne egenvektorer for 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 med egenværdier hhv.
 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

.
 Så gælder der både, at
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\left\langle \boldsymbol{u},L(\boldsymbol{v})\right\rangle  & =\left\langle \boldsymbol{u},\lambda\cdot\boldsymbol{v}\right\rangle \\
 & =\overline{\lambda}\cdot\left\langle \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\right\rangle 
\end{align*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
men jf.
 formel 14.4 (
\begin_inset Formula $\left\langle L^{*}(\boldsymbol{u}),\boldsymbol{v}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{u},L(\boldsymbol{v})\right\rangle $
\end_inset

), har vi at:
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\left\langle \boldsymbol{u},L(\boldsymbol{v})\right\rangle  & =\left\langle L^{*}(\boldsymbol{u}),\boldsymbol{v}\right\rangle \\
 & =\left\langle L(\boldsymbol{u}),\boldsymbol{v}\right\rangle \qquad\text{Da den er selvadjungeret}\\
 & =\left\langle \mu\cdot\text{\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}}\right\rangle \\
 & =\mu\cdot\left\langle u,\boldsymbol{v}\right\rangle 
\end{align*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
I tilfældet hvor 
\begin_inset Formula $\text{\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}}$
\end_inset

, og dermed 
\begin_inset Formula $\lambda=\mu$
\end_inset

, betyder de to ovenstående resultater, at:
\begin_inset Formula 
\[
\overline{\lambda}\cdot\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{v}\right\rangle =\lambda\cdot\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{v}\right\rangle 
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Hvilket kun er muligt når 
\begin_inset Formula $\overline{\lambda}=\lambda$
\end_inset

, idet 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
\end_inset

 er en egenvektor og dermed ikke kan være 0.
 Dette medfører at 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

 må være et reelt tal.
 Dette er ikke relevant for andre tilfælde, end hvor de to egenvektorer
 er ens, da man altid vil kunne lave samme argument, hvis blot man gør det
 her for hver egenvektor.
\end_layout

\begin_layout Standard
(2)
\end_layout

\begin_layout Standard
Betragt nu tilfældet hvor 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{u=w},$
\end_inset

 er en egenvektor med egenværdi 
\begin_inset Formula $\mu\ne\lambda$
\end_inset

.
 Da implicerer de to formler fra (1) og resultatet af (1) (at alle egenværdier
 er reele), at
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\lambda\cdot\left\langle \boldsymbol{w},\boldsymbol{v}\right\rangle =\mu\cdot\left\langle \boldsymbol{w},\boldsymbol{v}\right\rangle 
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Hvor følgende kan udledes
\begin_inset Formula 
\[
(\lambda-\mu)\cdot\left\langle \boldsymbol{w},\boldsymbol{v}\right\rangle =0
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Hvilket kun er muligt hvis
\begin_inset Formula 
\[
\left\langle \boldsymbol{w},\boldsymbol{v}\right\rangle =0
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Hvorefter det kan konkluderes at 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}$
\end_inset

 er ortogonale på hinanden.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Sætning 14.20 (Spektralsætningen)
\end_layout

\begin_layout Standard
Lad 
\begin_inset Formula $L:V\rightarrow V$
\end_inset

 betegne en selvadjungerende operator.
 Så eksisterer der en ortonormal basis for 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 bestående af egenvektorer for 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 med reele egenværdier.
 Specielt er 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 ortonormal diagonaliserbar.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Bevis
\end_layout

\begin_layout Standard
Per definition 14.18, vides der allerede at alle egenværdier for 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 er reele, derfor skal der blot vises at 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 har en ortonormal basis bestående af egenvektorer for 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

.
 Dette gøres via et induktion i 
\begin_inset Formula $n=\text{Dim}(V)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Hvis 
\begin_inset Formula $\text{Dim}(V)=1$
\end_inset

, så lader vi 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}=(\boldsymbol{v})$
\end_inset

 betegne en ortonormal basis for 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 I givet fald, er 
\begin_inset Formula $L(\boldsymbol{v})\in\text{Span}(\boldsymbol{v})$
\end_inset

 og dermed gælder 
\begin_inset Formula $L(\boldsymbol{v})=\lambda\cdot\boldsymbol{v}$
\end_inset

 oplagt.
 Dermed er 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
\end_inset

 en egenvektor for 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Antag nu at 
\begin_inset Formula $n=\text{Dim}(V)>1$
\end_inset

 og at resultatet er vist for selvadjungerende operatorer på vektorrum af
 dimension 
\begin_inset Formula $n-1$
\end_inset

.
 Vælg da, jf.
 sætning 14.19, der siger at alle selvadjungerende operatorer har en reel
 egenværdi og dermed en egenvektor, en egenvektor 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
\end_inset

 for 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 og sæt 
\begin_inset Formula $W=\text{Span}(\boldsymbol{v})^{\perp}.$
\end_inset

 Idet 
\begin_inset Formula $L=L^{*}$
\end_inset

, da 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 er selvadjungerende, så viser Lemma 14.10 (Lad L være en lineær operator
 på et indre produkt rum V af 
\begin_inset Formula $\text{Dim}(V)>0$
\end_inset

 over 
\begin_inset Formula $\mathbb{K},$
\end_inset

 lad da 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 være et underrum af 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, der er stabilt overfor 
\begin_inset Formula $L^{*}.$
\end_inset

 Så vil 
\begin_inset Formula $W^{\perp}$
\end_inset

 være stabilt overfor 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

), at 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 er stabilt overfor 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

.
 Den inducerede operator 
\begin_inset Formula $L_{W}$
\end_inset

 på 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 er ydermere selvadjungeret, pr.
 eksempel 14.15(B) (der konkluderer at 
\begin_inset Formula $L_{W}:W\rightarrow W$
\end_inset

 er selvadjungeret).
 Idet 
\begin_inset Formula $\text{Dim}(v)=n-1$
\end_inset

, jf.
 korollar 10.21 (der siger at 
\begin_inset Formula $\text{Dim}(V)=\text{Dim}(W)+\text{Dim}(W)^{\perp},$
\end_inset

 hvor, i vores tilfælde, 
\begin_inset Formula $\text{Dim}(W)=1$
\end_inset

, da det kun er elementet 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
\end_inset

, så 
\begin_inset Formula $\text{Dim}(W)^{\perp}=\text{Dim}(V)-1$
\end_inset

.
 Note, det nævnte 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 her, er ikke det 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 brugt i det udestående bevis), så implicerer induktionsantagelsen, at W
 har en ortonormal base 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}=(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\dots,\boldsymbol{w}_{n-1}),$
\end_inset

 bestående af egenvektorer for 
\begin_inset Formula $L_{W}$
\end_inset

 (note, 
\begin_inset Formula $L_{W}$
\end_inset

 betyder blot at 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 er stabilt overfor W, således at tager man et element fra W, bruger den
 lineære operator, så ender man indenfor W igen), og dermed for 
\begin_inset Formula $L.$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sæt nu
\begin_inset Formula 
\[
\boldsymbol{w}_{n}=\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert }\cdot\boldsymbol{v}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Så er elementerne 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}=(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\dots,\boldsymbol{w}_{n})$
\end_inset

 en ortonormal mængde (da de er normaliserede), 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\dots,\boldsymbol{w}_{n-1}$
\end_inset

 er ortonormale pr.
 valg af 
\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
\end_inset

 og 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
\end_inset

 (og dermed 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{n})$
\end_inset

 er ortogonal på 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\dots,\boldsymbol{w}_{n-1}$
\end_inset

, per valg af W, da 
\begin_inset Formula $W=\text{Span}(\boldsymbol{v})^{\perp}$
\end_inset

.
 Specielt er 
\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
\end_inset

 lineært uafhængig, da den består af ortogonale vektorer, og dermed er det
 en basis for 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 Til sidst bemærkes det, at 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 består af egenvektorer for 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

, per antagelse af de 
\begin_inset Formula $n-1$
\end_inset

 elementer og tilsidst på grund af indsættelsen af det sidste 
\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}.$
\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document