From ada543b7c3533906c1d68e80000fb6c1ea6fc4ce Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pownie <Alexmunchhansen@gmail.com>
Date: Sat, 10 Jun 2017 18:32:49 +0200
Subject: [PATCH] Mangler kun diff

---
 beviser.lyx | 2187 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--
 1 file changed, 2106 insertions(+), 81 deletions(-)

diff --git a/beviser.lyx b/beviser.lyx
index bbc85fb..d47b587 100644
--- a/beviser.lyx
+++ b/beviser.lyx
@@ -3072,6 +3072,905 @@ Og derfor har vi:
 \end_inset
 
 
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Indre produkt
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Definition 9.1
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Afbildningen
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle :V\times V\rightarrow\mathbb{K}
+\]
+
+\end_inset
+
+benævnes som det 
+\emph on
+indre produkt
+\emph default
+ hvis der for alle 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in V$
+\end_inset
+
+ og skalarer 
+\begin_inset Formula $\alpha,\beta\in\mathbb{K}$
+\end_inset
+
+ gælder at:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Skalaren 
+\begin_inset Formula $\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{v}\right\rangle $
+\end_inset
+
+ er et reelt tal, der er større end eller lig med nul.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{v}\right\rangle =0\implies\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle =\overline{\left\langle \boldsymbol{w},\boldsymbol{v}\right\rangle }$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\left\langle \alpha\cdot\boldsymbol{u}+\beta\cdot\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle =\alpha\cdot\left\langle \boldsymbol{u},\boldsymbol{w}\right\rangle +\beta\cdot\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle $
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Bemærkning 9.4 (Naiv definition af komplekst skalarprodukt)
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Definition 9.5 (Norm)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\emph on
+Normen
+\emph default
+ af et element 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
+\end_inset
+
+ i et indre produkt rum 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ defineres som
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert =\sqrt{\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{v}\right\rangle }\in\mathbb{R}_{\geq0}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Definition 9.7 (Ortogonalitet)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+To elementer 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
+\end_inset
+
+ og 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}$
+\end_inset
+
+ i et indre produkt rum kaldes 
+\emph on
+ortogonale
+\emph default
+ hvis
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle =0
+\]
+
+\end_inset
+
+dette skrives også som
+\begin_inset Formula 
+\[
+\boldsymbol{v}\perp\boldsymbol{w}.
+\]
+
+\end_inset
+
+Denne betingelse er oplagt symmetrisk (betingelse 3 (c) i definitionen af
+ indre produkt) således at
+\begin_inset Formula 
+\[
+\boldsymbol{v}\perp\boldsymbol{w}\iff\boldsymbol{w}\perp\boldsymbol{v}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Lemma 9.11
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Lad 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
+\end_inset
+
+ og 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}$
+\end_inset
+
+ hvor 
+\begin_inset Formula $w\neq0$
+\end_inset
+
+ betegne elementer i et indre produkt rum 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ Der kan da findes en ortogonal projektion 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
+\end_inset
+
+ af 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
+\end_inset
+
+ på 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}$
+\end_inset
+
+, hvilken er givet ved
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\[
+\boldsymbol{p}=\frac{\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle }{\left\langle \boldsymbol{w},\boldsymbol{w}\right\rangle }\boldsymbol{w}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Bevis
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Eftersom 
+\begin_inset Formula $\alpha\cdot\boldsymbol{w}$
+\end_inset
+
+ per definition vil være en ortogonal projektion af 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
+\end_inset
+
+ på 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}$
+\end_inset
+
+, såfremt
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left\langle \boldsymbol{v}-\alpha\cdot\boldsymbol{w},\boldsymbol{w}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle -\alpha\cdot\left\langle \boldsymbol{w},\boldsymbol{w}\right\rangle =0
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+hvilket netop vil gælde når
+\begin_inset Formula 
+\[
+\alpha=\frac{\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle }{\left\langle \boldsymbol{w},\boldsymbol{w}\right\rangle }
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Hvilket afslutter beviset, da den ortogonale projektion udregnes ved at
+ sige 
+\begin_inset Formula $v-(\alpha\cdot\boldsymbol{w})$
+\end_inset
+
+, så det ekstra 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}$
+\end_inset
+
+ i udregningen for 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
+\end_inset
+
+, kommer derfra.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Proposition 9.12 (Cauchy-Schwarz' ulighed)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+For vektorer 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
+\end_inset
+
+ og 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}$
+\end_inset
+
+ i et indre produkt rum 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ gælder der uligheden
+\begin_inset Formula 
+\[
+|\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle |\leq\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \cdot\left\Vert \boldsymbol{w}\right\Vert 
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+hvor venstresiden betegner den absolutte værdi af skalaren 
+\begin_inset Formula $\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle $
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Bevis
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Uligheden er allerede opfyldt, hvis 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}=\boldsymbol{0}$
+\end_inset
+
+, jf.
+ Lemma 9.6(3), dvs skalarproduktet af noget med nulvektoren, vil altid give
+ 0 og ligeså vil længden af nulvektoren være 0.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Antag derfor at 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}\neq0$
+\end_inset
+
+ og lad 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
+\end_inset
+
+ betegne den ortogonale projektion af 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
+\end_inset
+
+ på 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}$
+\end_inset
+
+, så er
+\begin_inset Formula 
+\[
+\boldsymbol{v}=\boldsymbol{p}+(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{p})
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+og 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
+\end_inset
+
+ og 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}-\boldsymbol{p}$
+\end_inset
+
+ er heri ortogonale (Tænk over det, 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}-\boldsymbol{p}$
+\end_inset
+
+, er vektoren der står vinkelret på 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}$
+\end_inset
+
+ og når til 'enden' af 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
+\end_inset
+
+).
+ Denne opspaltning er halvvejs en god ide, men definitionen på v kommer
+ først senere i bogen under et andet kapitel.
+ Det svarer til 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{p}+\boldsymbol{h}$
+\end_inset
+
+ i den senere definition.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Vi får den gode ide, at det ligner en trekant (hvis man tegner de forskellige
+ vektorer), og kan derfor bruge Pythagoras sætning til at finde længden
+ af 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}.$
+\end_inset
+
+ Ifølge Pythagoras sætning, prop 9.9, så kan normen af vektoren 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
+\end_inset
+
+, så findes ved
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert ^{2}=\left\Vert \boldsymbol{p}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \boldsymbol{v}-\boldsymbol{p}\right\Vert ^{2}\ge\left\Vert \boldsymbol{p}\right\Vert ^{2}
+\]
+
+\end_inset
+
+hvilket betyder at 
+\begin_inset Formula $\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \ge\left\Vert \boldsymbol{p}\right\Vert $
+\end_inset
+
+.
+ Dette kan via definition på en ortogonal projektion og Lemma 9.6(2) (
+\begin_inset Formula $\left\Vert \alpha\boldsymbol{v}\right\Vert =|\alpha|\cdot\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert $
+\end_inset
+
+) lede til udledningen
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left\Vert \boldsymbol{p}\right\Vert =\frac{|\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle |}{\left\Vert \boldsymbol{w}\right\Vert ^{2}}\cdot\left\Vert \boldsymbol{w}\right\Vert =\frac{|\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle |}{\left\Vert \boldsymbol{w}\right\Vert }
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Hvilket betyder
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \ge\frac{|\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle |}{\left\Vert \boldsymbol{w}\right\Vert }
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+hvilket er ækvivalent med den oprindelige ulighed.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Ortogonale og Ortonormale baser
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Definition 10.1 (Ortogonale og ortonormale mængder)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En samling af elementer 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v_{1}},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n}\in V$
+\end_inset
+
+ kaldes en ortogonal mængde, såfremt følgende betingelser er opfyldt.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+(a) 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{i}\ne\boldsymbol{0}$
+\end_inset
+
+ for 
+\begin_inset Formula $i=1,2,\dots,n$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+(b) 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{i}\perp\boldsymbol{v}_{j}$
+\end_inset
+
+ når 
+\begin_inset Formula $i\ne j$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+(c) 
+\begin_inset Formula $\left\Vert \boldsymbol{v}_{i}\right\Vert =1$
+\end_inset
+
+ for 
+\begin_inset Formula $i=1,2,\dots,n$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Såfremt (c) også opfyldes, så er det en ortoNORMAL mængde, da alle vektorer
+ er normaliserede.
+ Man kan nemt komme fra en ortogonal mængde til en ortonormal mængde, ved
+ blot at normalisere hver vektor i den ortogonale mængde:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{v}_{i}\right\Vert }\boldsymbol{v}_{i}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Lemma 10.22 (Gram-Schmidt)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Gram-Schmidt processen bruges til at tage en normal basis, først ændre den
+ til en ortogonal base og derefter normalisere den, så man får en ortonormal
+ basis.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Lad 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ betegne et indre produkt rum med basis 
+\begin_inset Formula $\mathcal{V}=(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})$
+\end_inset
+
+.
+ Lad 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}_{k}$
+\end_inset
+
+ for 
+\begin_inset Formula $k=1,2,\dots,n-1$
+\end_inset
+
+ betegne den ortogonale projektion af 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{k+1}$
+\end_inset
+
+ på underrummet 
+\begin_inset Formula $\text{Span}(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{k})$
+\end_inset
+
+, så er
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\[
+\mathcal{W}=(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{v}_{3}-\boldsymbol{p}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n}-\boldsymbol{p}_{n-1})
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+også en basis for 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Bevis
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Start med at sætte 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{1}=\boldsymbol{v}_{1}$
+\end_inset
+
+ og 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{k}=\boldsymbol{v}_{k}-\boldsymbol{p}_{k-1}$
+\end_inset
+
+ for 
+\begin_inset Formula $k=1,2,\dots n$
+\end_inset
+
+.
+ Jf.
+ prop 10.4 (der siger at en ortogonale mængde er lineært uafhængig) og prop
+ 7.11 (der siger at for en mængde af elementer i vektorrummmet 
+\begin_inset Formula $V_{n},$
+\end_inset
+
+ gælder, at hvis mængden er af størrelse n, så er tre udsagn ækvivalente,
+ heriblandt lineært uafhængighed og værende en basis, så mængden udspænder
+ også 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+), er det tilstrækkeligt at vise at 
+\begin_inset Formula $(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\dots,\boldsymbol{w}_{n})$
+\end_inset
+
+ er en ortogonal mængde.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Lad 
+\begin_inset Formula $V_{k}$
+\end_inset
+
+, for 
+\begin_inset Formula $k=1,2,\dots,n$
+\end_inset
+
+ betegne underrummet 
+\begin_inset Formula $\text{Span}(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{k})$
+\end_inset
+
+.
+ Der påstås så
+\begin_inset Formula 
+\[
+\boldsymbol{w}_{k+1}\in V_{k}^{\perp}\cap V_{k+1}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+for 
+\begin_inset Formula $k=1,2,\dots,n-1$
+\end_inset
+
+.
+ Hvilket kan forstås som at elementet 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{k+1}$
+\end_inset
+
+ både er ortogonal på mængden af 
+\begin_inset Formula $V_{k}$
+\end_inset
+
+, men den også er i mængden af 
+\begin_inset Formula $V_{k+1}$
+\end_inset
+
+.
+ I første omgang 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}_{k}$
+\end_inset
+
+, for 
+\begin_inset Formula $k=1,2,\dots,n-1$
+\end_inset
+
+, den ortogonale projektion af 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{k+1}$
+\end_inset
+
+ på 
+\begin_inset Formula $V_{k}$
+\end_inset
+
+, hvilket derfor implicerer at 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{k+1}=\boldsymbol{v}_{k+1}-\boldsymbol{p}_{k}\in V_{k}^{\perp}$
+\end_inset
+
+, per definition 10.11 (Definitionen for ortogonal projektion).
+ Desuden er 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{k+1}=\boldsymbol{v}_{k+1}-\boldsymbol{p}_{k}$
+\end_inset
+
+ en differens mellem to elementer i 
+\begin_inset Formula $V_{k+1}$
+\end_inset
+
+ (da 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{p}_{k}$
+\end_inset
+
+ er en projektion og dermed i rummet), hvilket betyder at 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{k+1}$
+\end_inset
+
+ selv er et element i 
+\begin_inset Formula $V_{k+1}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Der ønskes så at vise at 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{i}$
+\end_inset
+
+ og 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{j}$
+\end_inset
+
+ med 
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+i < j er ortogonale.
+ j må være større end 1 og ovenstående formel implicerer derfor
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\[
+\boldsymbol{w}_{j}\in V_{j-1}^{\perp}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+hvilket må betyde at 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{j}$
+\end_inset
+
+ er ortogonal på 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{i},$
+\end_inset
+
+ idet 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\boldsymbol{w}_{i}\in V_{i}\subseteq V_{j-1}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+og antagelsen at 
+\begin_inset Formula $i<j$
+\end_inset
+
+.
+ Dette er oplagt, da 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{i}\in V_{j-1}$
+\end_inset
+
+ og 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{j}\in V_{j-1}^{\perp},$
+\end_inset
+
+ så 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{j}$
+\end_inset
+
+ er i det ortogonale komplement til den mængde 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{i}$
+\end_inset
+
+ er i.
+ Nu ønskes der blot at vise at 
+\begin_inset Formula $(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\dots,\boldsymbol{w}_{n})$
+\end_inset
+
+ er forskellige fra 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{0}$
+\end_inset
+
+.
+ Først er 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{1}=\boldsymbol{v}_{1}$
+\end_inset
+
+ forskellig fra 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{0},$
+\end_inset
+
+ da 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{1}$
+\end_inset
+
+ er en del af basen 
+\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
+\end_inset
+
+ for 
+\begin_inset Formula $V.$
+\end_inset
+
+ Dernæst betragtes 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{k}$
+\end_inset
+
+ for 
+\begin_inset Formula $k>1$
+\end_inset
+
+.
+ Såfremt 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{k}=0,$
+\end_inset
+
+ så vil 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{k}=\boldsymbol{p}_{k-1}$
+\end_inset
+
+ være et element i 
+\begin_inset Formula $V_{k-1}$
+\end_inset
+
+, men det ville betyde at 
+\begin_inset Formula $(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{k})$
+\end_inset
+
+ er lineært afhængig, da elementet 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{k}\in V_{k-1}$
+\end_inset
+
+, jf.
+ Lemma 7.7(2), hvilket er i modstrid med antagelsen.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Lemma 10.23
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Lad 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ betegne et indre produkt rum med basis 
+\begin_inset Formula $\mathcal{V}=(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})$
+\end_inset
+
+ og lad 
+\begin_inset Formula $\mathcal{W}=(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\dots,\boldsymbol{w}_{n})$
+\end_inset
+
+ betegne den ortogonale basis for 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ bestemt ud fra 
+\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
+\end_inset
+
+.
+ Lemma 10.23 omhandler at tage en basis og så gå fra den basis direkte til
+ den ortonormale basis.
+ Dog kan man blot bruge lemma 10.22 og så derefter normalisere vektorerne
+ i 
+\begin_inset Formula $\mathcal{W},$
+\end_inset
+
+ hvilket er grunden til det lige nævnes nu.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\[
+\boldsymbol{u}_{i}=\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{w}_{i}\right\Vert }\boldsymbol{w}_{i}\quad for\,i=1,2,\dots,n
+\]
+
+\end_inset
+
+ Hvis man ønsker at gå direkte, så defineres det første element 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{u}_{1}$
+\end_inset
+
+ da til:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\boldsymbol{u}_{1}=\frac{1}{\left\Vert v_{1}\right\Vert }\boldsymbol{v}_{1}
+\]
+
+\end_inset
+
+ jf.
+ med definitionen af 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{1}$
+\end_inset
+
+ i Lemma 10.22, hvor de resterende elementer defineres:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\boldsymbol{u}_{k+1}=\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{v}_{k+1}-\boldsymbol{p}_{k}\right\Vert }(\boldsymbol{v}_{k+1}-\boldsymbol{p}_{k})\qquad for\,k=1,2,\dots,n-1
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Hvor 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\boldsymbol{p}_{k}=\left\langle \boldsymbol{v}_{k+1},\boldsymbol{u}_{1}\right\rangle \boldsymbol{u}_{1}+\left\langle \boldsymbol{v}_{k+1},\boldsymbol{u}_{2}\right\rangle \boldsymbol{u}_{2}+\dots+\left\langle \boldsymbol{v}_{k+1},\boldsymbol{u}_{k}\right\rangle \boldsymbol{u}_{k}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dette vil ikke bevises, men er her blot for at illustrere hvad Lemma 10.22
+ bruges til.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Newpage pagebreak
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
 \begin_layout Section
@@ -3511,92 +4410,61 @@ Disse kan relateres til prop 11.30 og dermed bruges til at beskrive henholdsvis
  udvikling af række og søjle.
 \end_layout
 
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Newpage pagebreak
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \begin_layout Section
-Indre produkt
+Egenværdier og egenvektorer
 \end_layout
 
 \begin_layout Subsection
-Definition 9.1
+Definition 12.1 (Egenværdi og egenvektor)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Et element 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v\in}V\setminus\{\boldsymbol{0}\}$
+\end_inset
+
+ siges at være en egenvektor for L, såfremt der eksisterer en skalar 
+\begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{F},$
+\end_inset
+
+ så
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Afbildningen
 \begin_inset Formula 
 \[
-\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle :V\times V\rightarrow\mathbb{K}
+L(\boldsymbol{v})=\lambda\cdot\boldsymbol{v}
 \]
 
 \end_inset
 
-benævnes som det 
-\emph on
-indre produkt
-\emph default
- hvis der for alle 
-\begin_inset Formula $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in V$
+Hvor 
+\begin_inset Formula $\lambda$
 \end_inset
 
- og skalarer 
-\begin_inset Formula $\alpha,\beta\in\mathbb{K}$
-\end_inset
-
- gælder at:
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
-Skalaren 
-\begin_inset Formula $\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{v}\right\rangle $
-\end_inset
-
- er et reelt tal, der er større end eller lig med nul.
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Formula $\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{v}\right\rangle =0\implies\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}$
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Formula $\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle =\overline{\left\langle \boldsymbol{w},\boldsymbol{v}\right\rangle }$
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Formula $\left\langle \alpha\cdot\boldsymbol{u}+\beta\cdot\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle =\alpha\cdot\left\langle \boldsymbol{u},\boldsymbol{w}\right\rangle +\beta\cdot\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle $
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\begin_layout Subsection
-Bemærkning 9.4 (Naiv definition af komplekst skalarprodukt)
-\end_layout
-
-\begin_layout Subsection
-Definition 9.5 (Norm)
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-
-\emph on
-Normen
-\emph default
- af et element 
+ kaldes for egenværdien hørende til 
 \begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
 \end_inset
 
- i et indre produkt rum 
-\begin_inset Formula $V$
+.
+ Dette kan også gøres for matricer, såfremt 
+\begin_inset Formula $L=L_{A},$
 \end_inset
 
- defineres som
+ så
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
 \begin_inset Formula 
 \[
-\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert =\sqrt{\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{v}\right\rangle }\in\mathbb{R}_{\geq0}
+A\cdot\boldsymbol{v}=\lambda\cdot\boldsymbol{v}
 \]
 
 \end_inset
@@ -3605,11 +4473,712 @@ Normen
 \end_layout
 
 \begin_layout Subsection
-Definition 9.7 (Ortogonalitet)
+Definition 12.4 (Egenrum)
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-To elementer 
+Lad 
+\begin_inset Formula $L:V\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ betegne en lineær operator, og lad 
+\begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{F}$
+\end_inset
+
+.
+ Egenrummet for L tilhørende 
+\begin_inset Formula $\lambda$
+\end_inset
+
+ defineres til:
+\begin_inset Formula 
+\[
+E_{L}(\lambda)=\{\boldsymbol{v}\in V\,|\,L(\boldsymbol{v})=\lambda\cdot\boldsymbol{v}\}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dette kan også defineres som en matric, definitionen følger.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Definition 12.16 (Similære matricer)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Lad 
+\begin_inset Formula $A,B\in\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$
+\end_inset
+
+ betegne kvadratiske matricer.
+ 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ og 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ er da similære, hvis der eksisterer en invertibel matrix 
+\begin_inset Formula $S\in\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$
+\end_inset
+
+, så 
+\begin_inset Formula $A=S^{-1}\cdot B\cdot S$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+At de er similære, betyder blandt andet at de har det samme karakteristiske
+ polynomium, pr.
+ Lemma 12.15 og derfor har de ens egenværdier.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dette viser at det karakteristiske polynomium ikke afhænger af basen.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Lemma 12.15 (Similære Matricer)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Lad 
+\begin_inset Formula $A,B\in\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$
+\end_inset
+
+ og lad 
+\begin_inset Formula $S\in\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$
+\end_inset
+
+ betegne en invertibel matrix, så gælder
+\begin_inset Formula 
+\[
+A=S^{-1}\cdot B\cdot S
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+og så er de karakteristiske polynomiumer 
+\begin_inset Formula $p_{A}$
+\end_inset
+
+ og 
+\begin_inset Formula $p_{B}$
+\end_inset
+
+ ens.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Bevis
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Lad 
+\begin_inset Formula $t\in\mathbb{F}.$
+\end_inset
+
+ Vi skal da vise at 
+\begin_inset Formula $p_{A}(t)=p_{B}(t),$
+\end_inset
+
+ derfor:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\[
+\text{Det}(A-t\cdot{\rm I})=\text{Det}(B-t\cdot{\rm I})
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Men
+\begin_inset Formula 
+\begin{align*}
+S^{-1}\cdot(B-t\cdot{\rm I)\cdot S} & =S^{-1}\cdot B\cdot S-t\cdot S^{-1}\cdot S\\
+ & =S^{-1}\cdot B\cdot S-t\cdot S^{-1}\cdot S\\
+ & =A-t\cdot{\rm I}
+\end{align*}
+
+\end_inset
+
+ Så derfor konkluderes:
+\begin_inset Formula 
+\begin{align*}
+p_{A}(t) & =\text{Det}(A-t\cdot{\rm I})\\
+ & =\text{Det}(S^{-1}\cdot(B-t\cdot{\rm I})\cdot S)\\
+ & =\text{Det(}S^{-1})\cdot\text{Det}(B-t\cdot{\rm I})\cdot\text{Det}(S)\\
+ & =\text{Det}(S^{-1})\cdot p_{B}(t)\cdot\text{Det}(S)\\
+ & =\text{Det}(S^{-1}\cdot S)\cdot p_{B}(t)\\
+ & =p_{B}(t)
+\end{align*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Hvilket afslutter beviset.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Definition 13.1 (Diagonaliserbar, bare lige SUPER kort)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Ting går ned langs diagonalen, wuhu.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Proposition 13.2(Diagonalgøgl)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Lad 
+\begin_inset Formula $\mathcal{V}=(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})$
+\end_inset
+
+ betegne en basis for 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ Så er 
+\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
+\end_inset
+
+ en basis af egenvektorer for 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ hvis og kun hvis matrixrepræsentationen 
+\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
+\end_inset
+
+ er diagonal.
+ I givet fald er den 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+'te diagonalindgang i 
+\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
+\end_inset
+
+ lig egenværdien for 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{i}.$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Bevis
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Bemærk at den 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+'te søjle i 
+\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
+\end_inset
+
+ er lig koordinatvektoren 
+\begin_inset Formula $[L(\boldsymbol{v}_{i})]_{\mathcal{V}}\in\mathbb{F}^{n},$
+\end_inset
+
+ jf.
+ definition 8.9 (Definitionen for matrixrepræsentation).
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Hvis 
+\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
+\end_inset
+
+ er en basis for 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ bestående af egenvektorer for 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+, så vil den 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+'te søjle i 
+\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
+\end_inset
+
+ være lig
+\begin_inset Formula 
+\[
+[L(\boldsymbol{v}_{i})]_{\mathcal{V}}=[\lambda_{i}\cdot\boldsymbol{v}_{i}]_{\mathcal{V}}=\lambda_{i}\cdot[v]_{\mathcal{V}}=\lambda_{i}\cdot\boldsymbol{e}_{i}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Specielt er 
+\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
+\end_inset
+
+ da diagonal med 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+'te diagonalindgang lig 
+\begin_inset Formula $\lambda_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Hvis omvendt 
+\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
+\end_inset
+
+ er diagonal med diagonalindgange 
+\begin_inset Formula $\lambda_{i}$
+\end_inset
+
+ for 
+\begin_inset Formula $i=1,2,\dots,n$
+\end_inset
+
+, så er
+\begin_inset Formula 
+\[
+[L(\boldsymbol{v}_{i})]_{\mathcal{V}}=\lambda_{i}\cdot\boldsymbol{e}_{i}=\lambda_{i}\cdot[\boldsymbol{v}]_{\mathcal{V}}=[\lambda_{i}\cdot\boldsymbol{v}_{i}]_{\mathcal{V}}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+og dermed gælder der at
+\begin_inset Formula 
+\[
+L(\boldsymbol{v}_{i})=\lambda_{i}\cdot\boldsymbol{v}_{i}\qquad for\,\,i=1,2,\dots,n
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Hvilket afslutter beviset at 
+\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
+\end_inset
+
+ består af egenvektorer.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dette kan også omskrives til matricer, men dette bevis er udeladt.
+ Det er Lemma 13.3.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Diagonalisering
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Definition 13.1 (Diagonaliserbar)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Den lineære operator 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ kaldes 
+\series bold
+diagonaliserbar 
+\series default
+såfremt der eksisterer en basis 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ bestående af egenvektorer for L.
+ En matrix 
+\begin_inset Formula $A\in\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$
+\end_inset
+
+ siges at være diagonaliserbar, hvis det tilsvarende er gældende for den
+ lineære operator 
+\begin_inset Formula $L_{A}:\mathbb{F}^{n}\rightarrow\mathbb{F}^{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Proposition 13.2 (Diagonalgøgl)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Lad 
+\begin_inset Formula $\mathcal{V}=(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})$
+\end_inset
+
+ betegne en basis for 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ Så er 
+\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
+\end_inset
+
+ en basis af egenvektorer for 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ hvis og kun hvis matrixrepræsentationen 
+\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
+\end_inset
+
+ er diagonal.
+ I givet fald er den 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+'te diagonalindgang i 
+\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
+\end_inset
+
+ lig egenværdien for 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}_{i}.$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Bevis
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Bemærk at den 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+'te søjle i 
+\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
+\end_inset
+
+ er lig koordinatvektoren 
+\begin_inset Formula $[L(\boldsymbol{v}_{i})]_{\mathcal{V}}\in\mathbb{F}^{n},$
+\end_inset
+
+ jf.
+ definition 8.9 (Definitionen for matrixrepræsentation).
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Hvis 
+\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
+\end_inset
+
+ er en basis for 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ bestående af egenvektorer for 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+, så vil den 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+'te søjle i 
+\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
+\end_inset
+
+ være lig
+\begin_inset Formula 
+\[
+[L(\boldsymbol{v}_{i})]_{\mathcal{V}}=[\lambda_{i}\cdot\boldsymbol{v}_{i}]_{\mathcal{V}}=\lambda_{i}\cdot[v]_{\mathcal{V}}=\lambda_{i}\cdot\boldsymbol{e}_{i}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Specielt er 
+\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
+\end_inset
+
+ da diagonal med 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+'te diagonalindgang lig 
+\begin_inset Formula $\lambda_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Hvis omvendt 
+\begin_inset Formula $_{\mathcal{V}}[L]_{\mathcal{V}}$
+\end_inset
+
+ er diagonal med diagonalindgange 
+\begin_inset Formula $\lambda_{i}$
+\end_inset
+
+ for 
+\begin_inset Formula $i=1,2,\dots,n$
+\end_inset
+
+, så er
+\begin_inset Formula 
+\[
+[L(\boldsymbol{v}_{i})]_{\mathcal{V}}=\lambda_{i}\cdot\boldsymbol{e}_{i}=\lambda_{i}\cdot[\boldsymbol{v}]_{\mathcal{V}}=[\lambda_{i}\cdot\boldsymbol{v}_{i}]_{\mathcal{V}}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+og dermed gælder der at
+\begin_inset Formula 
+\[
+L(\boldsymbol{v}_{i})=\lambda_{i}\cdot\boldsymbol{v}_{i}\qquad for\,\,i=1,2,\dots,n
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Hvilket afslutter beviset at 
+\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
+\end_inset
+
+ består af egenvektorer.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Lemma 13.3 (Diagonalgøgl, nu med matricer)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Lad 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{A\in\text{Mat}_{n}(\mathbb{F}).}$
+\end_inset
+
+ For en invertibel matrix 
+\begin_inset Formula $S\in\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$
+\end_inset
+
+ vil 
+\begin_inset Formula 
+\[
+D=S^{-1}AS
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+være en diagonalmatrix hvis og kun hvis søjlerne i 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ udgør en basis for 
+\begin_inset Formula $\mathbb{F}^{n}$
+\end_inset
+
+, bestående af egenvektorer for 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ I givet fald vil egenværdien for den 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+'te søjle i 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ være identisk med en 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+'te diagonalindgang i 
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+.
+ Specielt er 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ diagonaliserbar hvis og kun hvis 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ er similær til en diagonalmatrix (similariteten følger af definition 12.16).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Bevis
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Lad 
+\begin_inset Formula $S\in\text{Mat}_{n}(\mathbb{F})$
+\end_inset
+
+ betegne en matrix med søjler 
+\begin_inset Formula $(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\dots,\boldsymbol{v}_{n})$
+\end_inset
+
+.
+ Jf .
+ proposition 7.3 (Hvis 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ er en kvadratisk matrix med søjler 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{a}_{1},\dots,\boldsymbol{a}_{n}$
+\end_inset
+
+ så er 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ invertibel hvis og kun hvis 
+\begin_inset Formula $(\boldsymbol{a}_{1},\dots,\boldsymbol{a}_{n})$
+\end_inset
+
+ er en basis for 
+\begin_inset Formula $\mathbb{F}^{n}$
+\end_inset
+
+), såfremt 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ er invertibel, så vil vi yderligere have, at
+\begin_inset Formula 
+\[
+S=_{\varepsilon}[\boxempty]_{\mathcal{V}}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+hvilket, jf.
+ eksempel 8.8(A), betyder at, for hver søjle, siger 
+\begin_inset Formula $[\boldsymbol{v}_{i}]_{\varepsilon}$
+\end_inset
+
+ og det altså oplagt er matricen der indholder egenvektorer.
+ Dermed er
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\[
+S^{-1}AS=\,_{\varepsilon}[\boxempty]_{\mathcal{V}}^{-1}\cdot_{\varepsilon}[L_{A}]_{\varepsilon}\cdot{}_{\varepsilon}[\boxempty]_{\mathcal{V}}=_{\mathcal{V}}[L_{A}]_{\mathcal{V}}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Jf.
+ korollar 8.13 og prop 8.7, der begger siger noget om at det er ok at kæde
+ transformationsmatricerne sammen.
+ Det endelige udsagn følger da af prop 13.2
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Spektralsætningen
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Sætning 14.18
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Lad 
+\begin_inset Formula $L:V\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ betegne en selvadjungeret operator.
+ Så gælder der:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+(1) Alle egenværdier for 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ er reele.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+(2) Såfremt 
 \begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
 \end_inset
 
@@ -3617,36 +5186,492 @@ To elementer
 \begin_inset Formula $\boldsymbol{w}$
 \end_inset
 
- i et indre produkt rum kaldes 
-\emph on
-ortogonale
-\emph default
- hvis
+ er egenvektorer for 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ hørende til forskellige egenværdier, så er 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
+\end_inset
+
+ og 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}$
+\end_inset
+
+ ortogonale.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Bevis
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+(1)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Lad 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
+\end_inset
+
+ og 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{u}$
+\end_inset
+
+ betegne egenvektorer for 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ med egenværdier hhv.
+ 
+\begin_inset Formula $\lambda$
+\end_inset
+
+ og 
+\begin_inset Formula $\mu$
+\end_inset
+
+.
+ Så gælder der både, at
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
 \begin_inset Formula 
-\[
-\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\rangle =0
-\]
+\begin{align*}
+\left\langle \boldsymbol{u},L(\boldsymbol{v})\right\rangle  & =\left\langle \boldsymbol{u},\lambda\cdot\boldsymbol{v}\right\rangle \\
+ & =\overline{\lambda}\cdot\left\langle \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\right\rangle 
+\end{align*}
 
 \end_inset
 
-dette skrives også som
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+men jf.
+ formel 14.4 (
+\begin_inset Formula $\left\langle L^{*}(\boldsymbol{u}),\boldsymbol{v}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{u},L(\boldsymbol{v})\right\rangle $
+\end_inset
+
+), har vi at:
 \begin_inset Formula 
-\[
-\boldsymbol{v}\perp\boldsymbol{w}.
-\]
+\begin{align*}
+\left\langle \boldsymbol{u},L(\boldsymbol{v})\right\rangle  & =\left\langle L^{*}(\boldsymbol{u}),\boldsymbol{v}\right\rangle \\
+ & =\left\langle L(\boldsymbol{u}),\boldsymbol{v}\right\rangle \qquad\text{Da den er selvadjungeret}\\
+ & =\left\langle \mu\cdot\text{\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}}\right\rangle \\
+ & =\mu\cdot\left\langle u,\boldsymbol{v}\right\rangle 
+\end{align*}
 
 \end_inset
 
-Denne betingelse er oplagt symmetrisk (betingelse 3 (c) i definitionen af
- indre produkt) således at
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+I tilfældet hvor 
+\begin_inset Formula $\text{\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}}$
+\end_inset
+
+, og dermed 
+\begin_inset Formula $\lambda=\mu$
+\end_inset
+
+, betyder de to ovenstående resultater, at:
 \begin_inset Formula 
 \[
-\boldsymbol{v}\perp\boldsymbol{w}\iff\boldsymbol{w}\perp\boldsymbol{v}
+\overline{\lambda}\cdot\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{v}\right\rangle =\lambda\cdot\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{v}\right\rangle 
 \]
 
 \end_inset
 
 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Hvilket kun er muligt når 
+\begin_inset Formula $\overline{\lambda}=\lambda$
+\end_inset
+
+, idet 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
+\end_inset
+
+ er en egenvektor og dermed ikke kan være 0.
+ Dette medfører at 
+\begin_inset Formula $\lambda$
+\end_inset
+
+ må være et reelt tal.
+ Dette er ikke relevant for andre tilfælde, end hvor de to egenvektorer
+ er ens, da man altid vil kunne lave samme argument, hvis blot man gør det
+ her for hver egenvektor.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+(2)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Betragt nu tilfældet hvor 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{u=w},$
+\end_inset
+
+ er en egenvektor med egenværdi 
+\begin_inset Formula $\mu\ne\lambda$
+\end_inset
+
+.
+ Da implicerer de to formler fra (1) og resultatet af (1) (at alle egenværdier
+ er reele), at
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\[
+\lambda\cdot\left\langle \boldsymbol{w},\boldsymbol{v}\right\rangle =\mu\cdot\left\langle \boldsymbol{w},\boldsymbol{v}\right\rangle 
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Hvor følgende kan udledes
+\begin_inset Formula 
+\[
+(\lambda-\mu)\cdot\left\langle \boldsymbol{w},\boldsymbol{v}\right\rangle =0
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Hvilket kun er muligt hvis
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left\langle \boldsymbol{w},\boldsymbol{v}\right\rangle =0
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Hvorefter det kan konkluderes at 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
+\end_inset
+
+ og 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}$
+\end_inset
+
+ er ortogonale på hinanden.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Sætning 14.20 (Spektralsætningen)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Lad 
+\begin_inset Formula $L:V\rightarrow V$
+\end_inset
+
+ betegne en selvadjungerende operator.
+ Så eksisterer der en ortonormal basis for 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ bestående af egenvektorer for 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ med reele egenværdier.
+ Specielt er 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ ortonormal diagonaliserbar.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Bevis
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Per definition 14.18, vides der allerede at alle egenværdier for 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ er reele, derfor skal der blot vises at 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ har en ortonormal basis bestående af egenvektorer for 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+.
+ Dette gøres via et induktion i 
+\begin_inset Formula $n=\text{Dim}(V)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Hvis 
+\begin_inset Formula $\text{Dim}(V)=1$
+\end_inset
+
+, så lader vi 
+\begin_inset Formula $\mathcal{V}=(\boldsymbol{v})$
+\end_inset
+
+ betegne en ortonormal basis for 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ I givet fald, er 
+\begin_inset Formula $L(\boldsymbol{v})\in\text{Span}(\boldsymbol{v})$
+\end_inset
+
+ og dermed gælder 
+\begin_inset Formula $L(\boldsymbol{v})=\lambda\cdot\boldsymbol{v}$
+\end_inset
+
+ oplagt.
+ Dermed er 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
+\end_inset
+
+ en egenvektor for 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Antag nu at 
+\begin_inset Formula $n=\text{Dim}(V)>1$
+\end_inset
+
+ og at resultatet er vist for selvadjungerende operatorer på vektorrum af
+ dimension 
+\begin_inset Formula $n-1$
+\end_inset
+
+.
+ Vælg da, jf.
+ sætning 14.19, der siger at alle selvadjungerende operatorer har en reel
+ egenværdi og dermed en egenvektor, en egenvektor 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
+\end_inset
+
+ for 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ og sæt 
+\begin_inset Formula $W=\text{Span}(\boldsymbol{v})^{\perp}.$
+\end_inset
+
+ Idet 
+\begin_inset Formula $L=L^{*}$
+\end_inset
+
+, da 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ er selvadjungerende, så viser Lemma 14.10 (Lad L være en lineær operator
+ på et indre produkt rum V af 
+\begin_inset Formula $\text{Dim}(V)>0$
+\end_inset
+
+ over 
+\begin_inset Formula $\mathbb{K},$
+\end_inset
+
+ lad da 
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+ være et underrum af 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, der er stabilt overfor 
+\begin_inset Formula $L^{*}.$
+\end_inset
+
+ Så vil 
+\begin_inset Formula $W^{\perp}$
+\end_inset
+
+ være stabilt overfor 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+), at 
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+ er stabilt overfor 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+.
+ Den inducerede operator 
+\begin_inset Formula $L_{W}$
+\end_inset
+
+ på 
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+ er ydermere selvadjungeret, pr.
+ eksempel 14.15(B) (der konkluderer at 
+\begin_inset Formula $L_{W}:W\rightarrow W$
+\end_inset
+
+ er selvadjungeret).
+ Idet 
+\begin_inset Formula $\text{Dim}(v)=n-1$
+\end_inset
+
+, jf.
+ korollar 10.21 (der siger at 
+\begin_inset Formula $\text{Dim}(V)=\text{Dim}(W)+\text{Dim}(W)^{\perp},$
+\end_inset
+
+ hvor, i vores tilfælde, 
+\begin_inset Formula $\text{Dim}(W)=1$
+\end_inset
+
+, da det kun er elementet 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
+\end_inset
+
+, så 
+\begin_inset Formula $\text{Dim}(W)^{\perp}=\text{Dim}(V)-1$
+\end_inset
+
+.
+ Note, det nævnte 
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+ her, er ikke det 
+\begin_inset Formula $W$
+\end_inset
+
+ brugt i det udestående bevis), så implicerer induktionsantagelsen, at W
+ har en ortonormal base 
+\begin_inset Formula $\mathcal{W}=(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\dots,\boldsymbol{w}_{n-1}),$
+\end_inset
+
+ bestående af egenvektorer for 
+\begin_inset Formula $L_{W}$
+\end_inset
+
+ (note, 
+\begin_inset Formula $L_{W}$
+\end_inset
+
+ betyder blot at 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ er stabilt overfor W, således at tager man et element fra W, bruger den
+ lineære operator, så ender man indenfor W igen), og dermed for 
+\begin_inset Formula $L.$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sæt nu
+\begin_inset Formula 
+\[
+\boldsymbol{w}_{n}=\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert }\cdot\boldsymbol{v}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Så er elementerne 
+\begin_inset Formula $\mathcal{V}=(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\dots,\boldsymbol{w}_{n})$
+\end_inset
+
+ en ortonormal mængde (da de er normaliserede), 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\dots,\boldsymbol{w}_{n-1}$
+\end_inset
+
+ er ortonormale pr.
+ valg af 
+\begin_inset Formula $\mathcal{W}$
+\end_inset
+
+ og 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}$
+\end_inset
+
+ (og dermed 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{n})$
+\end_inset
+
+ er ortogonal på 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\dots,\boldsymbol{w}_{n-1}$
+\end_inset
+
+, per valg af W, da 
+\begin_inset Formula $W=\text{Span}(\boldsymbol{v})^{\perp}$
+\end_inset
+
+.
+ Specielt er 
+\begin_inset Formula $\mathcal{V}$
+\end_inset
+
+ lineært uafhængig, da den består af ortogonale vektorer, og dermed er det
+ en basis for 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ Til sidst bemærkes det, at 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ består af egenvektorer for 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+, per antagelse af de 
+\begin_inset Formula $n-1$
+\end_inset
+
+ elementer og tilsidst på grund af indsættelsen af det sidste 
+\begin_inset Formula $\boldsymbol{v}.$
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
 \end_body